Blatt 04 - Fachrichtung Mathematik

Universität des Saarlandes
Fachrichtung 6.1, Mathematik
Prof. Dr. Ernst-Ulrich Gekeler
M.Sc. Philipp Stopp
4. Übung zu Einführung in die analytische Zahlentheorie
SS 2016
Aufgabe 1. (10 = 5 + 5 Punkte)
Es seien c ∈ R und f, g : [c, ∞) → R≥0 Funktionen mit
• g(x) > 0 für alle x ∈ [c, ∞) ; ´
´x
x
• für alle x ∈ [c, ∞) existieren c f (t)dt und c g(t)dt ;
´x
• limx→∞ c g(t)dt = ∞.
Zeigen Sie, dass ´dann gilt:
´x
x
(i ) f = o(g) ⇒ c f (t)dt = o( c g(t)dt) ;
´x
´x
(ii ) f ∼ g ⇒ c f (t)dt ∼ c g(t)dt.
Aufgabe 2. (20 = 10 + 10 Punkte)
(i ) Zeigen Sie:
limx→∞
X
√
x<p≤x
1
= log(2) .
p
(ii ) Leiten Sie daraus ab:
lim infx→∞
#{n ≤ x | n hat einen Primfaktor >
x
√
n}
> 0.
Aufgabe 3. P
(10 Punkte)
Es sei Hn = 1≤k≤n k1 die n-te harmonische Zahl.
Zeigen Sie: Hn ∈
/ Z für n > 1.
Abgabe am Dienstag, den 14.06.2016 vor der Vorlesung

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