Lösung Aufgabe 2 - Hochschule RheinMain

Vorlesung Algebraische Kurven – Übungsblatt 1
Hagen Knaf, SS 2016
Aufgabe 2: Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome p(X) ∈ F3 [X]
vom Grad 3 mit Leitkoeffizient 1. Konstruieren Sie mit Hilfe eines dieser
Polynome einen Körper K mit 27 Elementen. Wählen Sie zufällig ein anderes
dieser Polynome aus und bestimmen Sie alle seine Nullstellen in K. Was
bedeutet das Ergebnis?
Lösung: Die gesuchten Polynome besitzen die Form
p(X) = X 3 + aX 2 + bX + c, a, b ∈ F3 , c ∈ F∗3 .
Um auf Irreduzibilität zu testen, genügt es zu zeigen, dass p keine Nullstelle
in F∗3 besitzt.
a
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
b
0
0
1
1
2
2
0
0
1
1
2
2
0
0
1
1
2
2
c p(1) p(2) irreduzibel
1
2
0
N
2
0
1
N
1
0
2
N
2
1
0
N
1
1
1
J
2
2
2
J
1
0
1
N
2
1
2
J
1
1
0
N
2
2
1
J
1
2
2
J
2
0
0
N
1
1
2
J
2
2
0
N
1
2
1
J
2
0
2
N
1
0
0
N
2
1
1
J
Man kann nun einen Körper K mit 27 Elementen zum Beispiel wie folgt
realisieren:
K := F3 [X]/(X 3 + 2X + 1)F3 [X].
Definiert man α := X + (X 3 + 2X + 1)F3 [X], so gilt mit den Bezeichnungen
der Vorlesung K = F3 [α] und α ist eine Nullstelle von X 3 + 2X + 1.
Wir betrachten nun das über F3 irreduzible Polynom X 3 + X 2 + 2X + 1.
Durch Ausprobieren findet man die Nullstelle α2 + 1. Die Polynomdivision
von X 3 +X 2 +2X +1 durch X −(α2 +1) = X +2α2 +2 liefert das quadratische
Polynom
q(X) := X 2 + (α2 + 2)X + (α2 + 2α + 1) ∈ K[X].
e zu bestimmen, wendet man die MitterUm seine Nullstellen β1 , β2 ∈ K
nachtsformel an:
q
+
2
2
β1,2 = − α 2+2 − ( α 2+2 )2 − (α2 + 2α + 1)
+ p
= α2 + 2 − (α2 + 2)2 − (α2 + 2α + 1)
+ p
= α2 + 2 − α4 + α2 + 1 − (α2 + 2α + 1)
+ p
= α2 + 2 − α(α + 2) + α
+ √
= α2 + 2 − α2 .
Es ergibt sich β1 = α2 + α + 2 ∈ K und β2 = α2 + 2α + 2 ∈ K, das heißt das
Polynom X 3 + X 2 + 2X + 1 besitzt alle seine Nullstellen bereits in K.
e des
Was bedeutet dieses Ergebnis? Der algebraische Abschluss K
f3 , da die ErweiKörpers K ist identisch mit dem algebraischen Abschluss F
terung K|F3 endlich (sie hat den Grad 3) und damit algebraisch ist. Hätte
eines der obigen über F3 irreduziblen Polynome keine Nullstelle in K, so
f3 wählen und den Körper L = F3 [β] bilden.
könnte man eine Nullstelle β ∈ F
Dieser hat nach Konstruktion 27 Elemente und ist verschieden von K. In
f3 jeden endlichen Körper genau einmal
der Vorlesung wurde bewiesen, dass F
enthält und dass es zu jeder Elementezahl höchstens einen Körper mit dieser
Elementzahl gibt – ein Widerspruch.
Die folgende Überlegung ist an dieser Stelle auch erhellend: Zwei verschief3
dene über F3 irreduzible Polynome können keine gemeinsame Nullstelle in F
besitzen. Da es 8 solche Polynome gibt, liefern diese insgesamt 3 · 8 = 24 verschiedene Elemente von K. Hinzu kommen die Elemente von F3 selbst, was
zusammen 27 ergibt.
Studiengang Angewandte Mathematik
2
Hochschule RheinMain

Download Report