Probe Klausur

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
PD Dr. L. Hille
Probe Klausur zur Vorlesung Einfuhrung in die Algebra
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studiengang: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsgruppenleiter(in): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bei Aufgabe 1, 4 und 7 kreuzen Sie die korrekte Antwort (Richtig oder Falsch) für jede der
vier Behauptungen einfach an. Haben Sie drei richtige Antworten und eine falsche, gibt es
noch einen Punkt, andernfalls gibt es bei einer falschen Antwort keinen Punkt (kreuzen Sie
also nur etwas an, wenn Sie sich sicher sind). Für die Aufgaben 1 - 9 gibt es je vier Punkte, für
die Aufgaben 10 - 15 je 8 Punkte. Es sind keine Hilfsmittel erlaubt. Lösen Sie die Aufgaben
möglichst auf dem Aufgabenblatt oder verwenden Sie ein neues mit Namen versehenes Blatt.
Zum Bestehen sollten Sie 40 Prozent der Punkte erreichen.
VIEL ERFOLG beim Bearbeiten der Aufgaben
A1 A2
A3 A4
A5 A6
A7 A8
A9
A10 A11
A12 A13 A14
A15
Σ
Aufgabe 1: Welche der folgenden Aussagen sind korrekt (Richtig oder Falsch). Geben Sie
eine kurze Begrndung an:
(A) Für jeden Ring R und f, g ∈ R mit f, g 6= 0 ist f · g 6= 0.
R
F
(B) Sei k ein Körper und λ ∈ k. Dann ist X − λ irreduzibel in k[X].
R
F
(C) Jedes irreduzible normierte Polynom in k[X] hat die Form X − λ mit λ ∈ k.
R
F
(D) Ein Element aus einem Ring R ist genau dann irreduzibel, wenn es prim ist.
R
F
Aufgabe 2: Berechnen Sie bzw. geben Sie an:
(A) Den größten gemeinsamen Teiler von X 2 − 3X + 2 und X 2 − 4 in Z[X].
(B) Die Einheiten von Z/(8).
(C) Die Nullstelle(n) von X 4 − 1 in R.
(D) Die Nullstelle(n) von X 4 − 1 in C.
Aufgabe 3: Definieren Sie:
(A) Primideal.
(B) Noetherscher Ring.
(C) Hauptidealring.
(D) Irreduzibles Element eines Ring.
Aufgabe 10: Polynome
Es sei f (X) = X 3 − 3X − 2 ∈ Q[X].
a) Berechnen Sie die Ableitung f 0 (X).
b) Berechnen Sie ggT (f (X), f 0 (X)). Hat f (X) mehrfache Nullstellen?
c) Schreiben Sie f (X) als Produkt von irreduziblen Polynomen.
d) Sei R = Q[X]/f (X). Ist R ein Integritätsbereich? Ist es faktoriell?
Aufgabe 11: Ideale, Ringhomomorphismen, Faktorringe
Sei I ⊂ Z[X] die Menge der Polynome mit geraden Koeffizienten.
a) Zeigen Sie, dass I ein Ideal von Z[X] ist.
b) Sei π : Z → Z/(2) die kanonische Projektion. Zeigen Sie, dass I der Kern des Homomorphismus
X
X
F : Z[X] → Z/(2)[X],
F
ai X i =
π(ai )X i .
ist.
c) Zeigen Sie, dass
Z/(2)[X] ' Z[X]/I.
d) Ist Z[X]/I faktoriell? Ist es ein Integritätsbereich? Ist es ein Hauptidealring?

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