6. Übungsblatt

6. Übung Zahlentheorie
Prof. Dr. Nebe
Aufgabe 17.
(SS 2016)
(6 Punkte) (das Henselsche Lemma)
(a) Bestimmen Sie alle a ∈ Z mit fi (a) ≡ 0
(i = 1, 2) und die Polynome
(mod p6 ) für p = 2, 3, 5
f1 (X) = X 2 + 1 ∈ Z[X] sowie
f2 (X) = X 3 + 15X 2 − 31X + 51 ∈ Z[X].
(b) Hat eines der Polynome fi aus (a) eine Nullstelle in Z?
(c) Finden Sie eine Wurzel aus −1 modulo 654 .
Aufgabe 18.
(5 Punkte) (Elliptische Kurven) Sei p > 3 eine Primzahl,
a, b ∈ Fp so dass X 3 + aX + b keine mehrfachen Nullstellen hat, (also 4a3 +
27b2 6= 0). und
E := Ea,b (Fp ) = {(x, y) ∈ F2p | y 2 = x3 + ax + b} ∪ {O}
eine elliptische Kurve über Fp . Zeigen Sie, dass E durch die folgende Addition
zu einer kommutative Gruppe wird, mit O als neutralem Element.
Ist P = (x, y) ∈ E, so ist −P := (x, −y). P + (−P ) := O.
Ist P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ) ∈ E mit P1 6= −P2 , so gilt P1 + P2 =: P3 =
(x3 , y3 ) ∈ E mit
x3 = λ2 − x1 − x2 , y3 = λ(x1 − x3 ) − y1 ,
wo λ := (y2 − y1 )/(x2 − x1 ), falls P1 6= P2 und λ := (3x21 + a)/(2y1 ), falls
P1 = P2 .
Aufgabe 19. (4 Punkte) (Elliptische Kurven) Sei E = E1,1 . Bestimmen
Sie E(F5 ) und E(F7 ) sowie ihre gruppentheoretische Struktur.
Abgabe: Montag, den 30.05.2016, vor der Vorlesung 12:00 Uhr im Hörsaal
IV.

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