Lineare Algebra II

Lineare Algebra II - SS 2016
Übungsblatt 01
Prof. Dr. Mohamed Barakat
In diesem Übungsblatt bezeichnet K einen Körper.
Aufgabe 1. (Polynome und Potenzreihen. 4 Punkte.)
1. Seien a := (1, 2, 3, 0, 0 . . . ), b = (3, 2, 1, 0, 0, . . . ) ∈ K[x]. Berechne a · b.
2. Seien a := (1, 1, . . . ), b = (1, −1, 0, 0, . . . ) ∈ K[[x]]. Berechne a · b.
3. Sei a ∈ K[[x]]. Zeige, dass
µa : K[[x]] → K[[x]], b 7→ a · b
eine lineare Abbildung ist. Diese ist genau dann injektiv, wenn a 6= 0 gilt.
Aufgabe 2. (Polynome und Potenzreihen. 5 Punkte.)
Beweise die folgenden Bemerkungen.
1. 1 := (1, 0, 0, . . .) ist neutrales Element der Multiplikation in K[[x]] und in K[x].
2. xa = (0, a0 , a1 , . . .) für alle a ∈ K[[x]].
3. Sei a ∈ K[x] ein Polynom vom Grad n, dann gilt
a = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn .
4. K[x]Grad<n := {0} ∪ {a ∈ K[x] | Grad(a) < n} ist ein Teilvektorraum von K[x].
5. Für a, b ∈ K[x] − {0} gilt Grad(ab) = Grad(a) + Grad(b).
Aufgabe 3. (Einheiten vom Polynomring. 3 Punkte.)
Bestimme die Einheitengruppe von K[x].
Aufgabe 4. (Einheiten P
vom Potenzreihenring. 4 Punkte.)
∞
i
Zeige: Ein Element a =
i=0 ai x ∈ K[[x]] ist invertierbar dann und nur dann, wenn
a0 6= 0.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 20.04.2016, 15:00 Uhr in
den Kasten mit der Aufschrift “HIER auch Abgabe von ÜBUNGEN für VORLESUNGEN von Prof. Barakat” ein. Dieser befindet sich im ENC, 2. Etage, am Zugang zum Gebäudeteil D. Bitte verseht eure Abgabe mit Namen, Matrikelnummer und
Übungsgruppenzugehörigkeit.

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