6. Seminar (09.05.

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler
Sommersemester 2016
6. Seminar (09.05. - 13.05.2016)
(Umkehrfunktion, Polynome, gebrochen rationale Funktionen)
1. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f (x), geben Sie - falls vorhanden - die
Umkehrfunktion y = f −1 (x) an, deren Wertebereich und Definitionsbereich und
skizzieren Sie f −1 (x).
(a) f (x) = x3 für x ∈ R
(x + 2)2 + 1 für x ∈ [−2, 1]
(b) f (x) =
2x + 8
für x ∈ (1, 3]
(c) f (x) = ln(x2 − 4) für |x| > 2
2. Geben Sie die Umkehrfunktion f −1 (x) der Funktion f (x) an, bestimmen Sie den
Definitions- und Wertebereich.
√
x−4
(a) f (x) = √
(x ≥ 0)
x+1
x−2
(b) f (x) =
(x 6= −4)
x+4
√
x−2
(c) f (x) = √
(x ≥ 2)
x+4
3. Berechnen Sie die Werte von f (x) an den angegebenen Stellen und bestimmen Sie
die Zerlegung von f (x) in reelle Elementarfunktionen (d. h. lineare oder quadratische
Polynome mit reellen Koeffizienten).
(a) f (x) = x3 − 4x2 + x + 6
x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0
(b) f (x) = x4 − 2x3 + 2x − 1
x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1
(c) f (x) = 3x5 − 6x3 − 9x2 − 6x
x0 = −1, x1 = 1, x2 = 2
4. Zerlegen Sie die Funktion in Polynom und echt gebrochen rationale Funktion.
(a) y =
x5 − x3 + x − 1
x2 − 1
(b) y =
x4 − 8x2 + 16
(x2 − 3x − 10)(x + 1)
(c) y =
12x3 + 19x2 − 45x + 18
10x2 + 10x − 20
1
Aufgaben zum weiteren Üben:
5. Geben Sie – falls vorhanden – die Umkehrfunktion f −1 (x) der Funktion f (x) an,
bestimmen Sie deren Definitions- und Wertebereich.
(a) f (x) = (x − 2)2 + 1 (x ≤ 2)
(b) f (x) =
√
x2 + 1 (x ∈ R)
r
(c) f (x) =
2x − 2
(x ≥ 1)
x+2
6. Berechnen Sie die Werte von f (x) an den angegebenen Stellen und bestimmen Sie
die Zerlegung von f (x) in reelle Elementarfunktionen (d. h. lineare oder quadratische
Polynome mit reellen Koeffizienten).
(a) f (x) = 3x(x2 − 1)
x0 = −2, x1 = 0, x2 = 1
(b) f (x) = 2x5 + 4x4 − 4x3 − 8x2 + 2x + 4
x0 = 1 , x1 = −1, x2 = −2, x3 = 2
(c) f (x) = x4 + 3x3 − 2x2 − 12x − 8
x0 = −2, x1 = 2, x2 = 3
(d) f (x) = 2x7 − x6 + 2x5 + 71x4 + 68x3 − 52x2
x0 = −3, x1 = −2, x2 = 12
7. Welche der in den Aufgaben 5. und 6. gegebenen Funktionen ist eine gerade Funktion
(spiegelsymmetrisch zur y-Achse)? Welche der Funktionen ist ungerade (punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung)?
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