Prof. Dr. Rainer Dahlhaus Wahrscheinlichkeitstheorie 1

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
12. Übungsblatt
Aufgabe 45 (Testen auf eine Verteilung mittels U-Statistiken, 4 = 1 + 1 + 1 + 1
Bonuspunkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Xi , i ∈ N eine Folge von i.i.d. reellwertigen
Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion F . In dieser Aufgabe wollen wir testen, ob die
Verteilungsfunktion der Xi einer fest vorgegebenen stetigen Verteilungsfunktion F0 : R → R
entspricht. Wir betrachten dazu das Funktional
Z
θ(F ) := (F (z) − F0 (z))2 dF0 (z).
(a) Finden Sie eine Funktion g : R2 → R, sodass θ(F ) =
RR
g(x, y) dF (x) dF (y).
(b) Zeigen Sie, dass der zum Funktional θ gehörige U-Schätzer Un gegeben ist durch
n
Un =
n−1
wobei F̂n (z) :=
1
n
Z
Pn
0
i=1
1
n
X
1
(F̂n (z) − F0 (z)) dF0 (z) −
g(Xi , Xi ),
n(n − 1) i=1
2
(∗)
1{Xi ≤z} die emp. Verteilungsfunktion von X1 , ..., Xn bezeichnet.
(c) Zeigen Sie, dass Un → 0 P-f.s., falls F = F0 .
P
(d) Zeigen Sie, dass n1 ni=1 g(Xi , Xi ) → 16 P-f.s., falls F = F0 .
Anmerkung: Das bedeutet, dass der zweite Summand in (*) von Ordnung O(n−1 ) und
daher im Allgemeinen vernachlässigbar ist. Der tatsächliche Test braucht also nur mit
dem ersten Summanden von (*) ausgeführt zu werden.
In der Vorlesung wurde für eine Zufallsvariable X : (Ω, A, P) → (R, BR ) die charakteristische
Funktion
φX (t) := E[eitX ]
definiert, wobei i die imaginäre Einheit bezeichnet und für komplexwertige Abbildungen Z der
Erwartungswert mittels E[Z] = E[Re(Z)] + i · E[Im(Z)] definiert wird.
Aufgabe 46 (Verbindung zwischen charakteristischer Funktion und Erwartungswerten, 4 = 1.5 + 1.5 + 1 Bonuspunkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : (Ω, A) → (R, BR ) eine Zufallsvariable.
(a) Es sei n ∈ N und E[|X|n ] < ∞. Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion φX von X
n-mal differenzierbar in t = 0 ist mit Ableitung
(n)
φX (0) = in · E[X n ].
Hinweis: Benutzen Sie Blatt 5, Aufgabe 18(a).
1
(b) Sei nun X ∼ Exp(λ) exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Für diese Verteilung ist
bekannt, dass E[|X|n ] < ∞ für alle n ∈ N. Berechnen Sie φX (t) und zeigen Sie mit (a):
n!
.
λn
Hinweis (zur Berechnung von φX ): Es ist für a ∈ R, t ∈ R:
E[X n ] =
Z
exp(ax) cos(tx) dx =
eax a
cos(tx)
+
t
sin(tx)
,
a2 + t2
Z
exp(ax) sin(tx) dx =
eax a
sin(tx)
−
t
cos(tx)
.
a2 + t2
(c) Seien (Xn )n∈N eine Folge von i.i.d. reellwertigen Zufallsvariablen und N eine von (Xn )n∈N
unabhängige Zufallsvariable mit Werten in N. Es gelte E|X1 | < ∞ und EN <
P∞. Zeigen
Sie unter Nutzung von (a) und des Resultats aus Aufgabe 47(b) für X = N
i=1 Xi die
Wald-Gleichung
EX = EX1 · EN.
Aufgabe 47 (Charakteristische Funktionen von Kompositionen, 4 = 1.5 + 1.5 + 1
Bonuspunkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei (Xn )n∈N eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen und N eine von (Xn )n∈N unabhängige Zufallsvariable mit Werten in N.
(a) Sei X := XN . Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion von X gegeben ist durch
φX (t) =
∞
X
P(N = n) · φXn (t).
n=1
Was ist die Verteilung von X im Falle, dass alle Xn , n ∈ N identisch verteilt sind?
(b) Wir nehmen
nun an, dass auch die Xn , n ∈ N i.i.d. sind. Zeigen Sie: Die Zufallsvariable
P
X
X := N
i besitzt die charakteristische Funktion
i=1
φX (t) = φN − i · ln φX1 (t) .
(c) In der Situation von (b) sei X1 ∼ Bin(1, p) Bernoulli-verteilt mit Parameter p ∈ (0, 1)
und N ∼ Poi(λ) Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0. Zeigen Sie, dass X ∼ Poi(λp).
Hinweis: Die charakteristische Funktion einer Poisson-Verteilung ist bereits aus Beispiel
6.7 der Vorlesung bekannt. Nutzen Sie den Eindeutigkeitssatz 6.13 der Vorlesung.
Aufgabe 48 (Anwendungen des Stetigkeitssatzes für charakteristische Funktionen,
4 = 1.5 + 1.5 + 1 Bonuspunkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. In dieser Aufgabe wollen wir die folgende Implikation
des Stetigkeitssatzes 6.8 der Vorlesung nutzen:
Ist (Xn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen und gilt φXn (t) → φ(t) für alle t ∈ R mit einer
D
Funktion φ : R → R und ist φ stetig in 0, dann gibt es eine Zufallsvariable X mit Xn → X und
φX = φ.
(a) Es seien (δi )i∈N i.i.d. Zufallsvariablen mit
1
P(δ1 = 1) = P(δ1 = −1) = .
2
Sei Xn =
Pn
δi
i=1 2i .
Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion von Xn durch
φXn (t) =
1
sin(t)
·
n
2 sin 2tn
(t 6= 0),
φXn (0) = 1
gegeben ist.
Hinweis: Nutzen Sie die Regel sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) für x ∈ R.
2
(b) Sei X ∼ U [−1, 1] eine auf [−1, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie φX (t) und
D
zeigen Sie, dass für Xn aus (a) gilt: Xn → X.
(c) Es seien nun Xn ∼ N (µn , σn2 ) normalverteilt, wobei (µn )n∈N , (σn2 )n∈N reelle Folgen mit
D
µn → µ ∈ R, σn2 → σ 2 ∈ (0, ∞) sind. Zeigen Sie: Xn → N (µ, σ 2 ).
Hinweis: Aus der Vorlesung Beispiel 6.7 ist die charakteristische Funktion einer Normalσ 2 t2
verteilung bekannt: Für X ∼ N (µ, σ 2 ) ist φX (t) = eitµ e− 2 .
Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 14. Juli 2016, 09:15 Uhr vor Beginn
der Vorlesung in den Zettelkästen 33 bzw. 34 in INF205, Etage 1.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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