Blatt 8

Übungsblatt 8
Harmonische Analysis, SoSe 2016
Prof. Dr. Jürgen Saal, Dr. Matthias Köhne
Abgabe: KW 25 in der Übung
Hausübungen – 3 + 3 + 2 Punkte
Aufgabe 18: (Laplace-Gleichung)
Die Grundlösung γn : Rn \ { 0 } −→ R der Laplace-Gleichung ist gegeben als

1


ln |x|, n = 2,
−


2π
x ∈ Rn \ { 0 }.
γn (x) =

1
1


, n > 2,

(n − 2)|∂B1 (0)| |x|n−2
Man Zeige, dass für 1 < p < ∞ und u ∈ S 0 (Rn ) sowie f ∈ Lp (Rn ) mit −∆u = f stets
k∂i ∂j ukLp (Rn ) ≤ Ckf kLp (Rn ) ,
i, j = 1, . . . , n
gilt, wobei die Konstante C > 0 nicht von u und f abhängt.
Aufgabe 19: (Resolventengleichung für den Laplace-Operator)
Seien 1 < p < ∞ und Re λ > 0. Man zeige, dass die Resolventengleichung
λu − ∆u = f
in Rn
für jedes f ∈ Lp (Rn ) eine eindeutige Lösung u ∈ Lp (Rn ) besitzt, für die die Abschätzung
|λ| kukLp (Rn ) + k∇2 ukLp (Rn ) ≤ Ckf kLp (Rn )
gilt, wobei die Konstante C > 0 nicht von λ, u und f abhängt.
Aufgabe 20: (Banachräume)
Sei (X, k · k) ein normierter Raum. Man zeige, dass dieser genau dann vollständig ist, wenn jede in X absolut
konvergente Reihe in X konvergiert. Letzteres bedeutet, dass für jede Folge (xk )k∈N ⊆ X, für die
∞
X
kxk k < ∞
k=1
ist, ein x ∈ X existiert mit
n
X
lim xk − x = 0.
n→∞ k=1

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