Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen
B Saitenschwingungsgleichung nach der Methode von d’Alembert:
Gegeben:
4
=: f (x)
1 + x4
1
=: g(x)
ut (x, 0) =
4 + x2
utt = 100uxx
u(x, 0) =
Lösung: durch Einsetzen in die Lösungsformel
1
1
u(x, t) = [f (x + ct) + f (x − ct)] +
2
2c
x+ct
Z
g(τ ) dτ
x−ct
mit c = 10 ergibt sich durch Einsetzen der geg. Funktionen
x+10
Z t
1
1
4
1
4
+
+
dτ
u(x, t) =
4
4
2 1 + (x + 10 t)
1 + (x − 10 t)
20
4 + τ2
x−10 t
τ x+10 t
4
1 1
1
4
+
+
arctan
=
2 1 + (x + 10 t)4 1 + (x − 10 t)4
20 2
2 x−10 t
x + 10 t
x − 10 t
2
2
1
arctan
− arctan
+
+
=
1 + (x + 10 t)4 1 + (x − 10 t)4
40
2
2
Zusatz: Speziell ergibt sich für die t-Achse (also an der Position x = 0) die Funktion
u(0, t) =
4
1
arctan(5t) für t ≥ 0
+
4
4
1 + 10 t
20
u(x,0)
u(x,0.30)
x
u(x,0.15)
x
u(x,0.45)
x
Abbildung 1: Einige Schnappschüsse“ des Funktionsverlaufs
”
x

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