2. Dünnwandige Druckbehälter - Prof. Dr.

08.10.15
2. Dünnwandige Druckbehälter
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Druckbehälter werden meist als Zylinder oder Kugeln
ausgelegt.
Einfache Berechnungsformeln ergeben sich für dünnwandige Behälter.
Ein Behälter kann als dünnwandig betrachtet werden,
wenn das Verhältnis von Innenradius zu Wandstärke größer als 5 bzw. das Verhältnis von Außenradius zu Innenradius kleiner als 1,2 ist.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-1
2. Dünnwandige Druckbehälter
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08.10.15
Abmessungen:
ra
ri
t
–
–
Geometrie:
r a =r i +t
Dünnwandig:
ri
ra
t
>5 →
=1+ <1,2
t
ri
ri
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-2
2. Dünnwandige Druckbehälter
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08.10.15
Annahme:
–
Da die Wand dünn ist, kann angenommen werden, dass die
Spannungen über die Dicke konstant sind.
–
Für r i /t > 10 bzw. r a /r i < 1,1 beträgt der Fehler in den Spannungen etwa 4 %.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-3
2. Dünnwandige Druckbehälter
08.10.15
2.1 Zylinderförmige Behälter
2.2 Kugelförmige Behälter
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-4
08.10.15
2.1 Zylinderförmige Behälter
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Aufgabenstellung:
–
Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter wird durch den
konstanten Innendruck p belastet.
–
Gesucht sind die Spannungen im Behälter.
r
p
x
t
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-5
08.10.15
2.1 Zylinderförmige Behälter
●
Spannung in Längsrichtung:
–
Der Behälter wird senkrecht zu seiner Achse geschnitten.
–
Dabei soll der Schnitt in hinreichendem Abstand zu den Enden liegen.
–
Gleichgewicht:

∑ F x =0
:
σ x⋅2 π r t − p π r 2=0
σ x=
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pr
2t
2. Ebene Elastizitätstheorie
σx
x
p
TM 2 2.2-6
08.10.15
2.1 Zylinderförmige Behälter
●
Spannung in Umfangsrichtung:
–
Aus dem Behälter wird in hinreichendem Abstand zu den
Enden ein halbkreisförmiges Segment herausgeschnitten.
–
Gleichgewicht:
∑ F z =0
z
:
σ ϕ⋅2 L t − p⋅2 r L=0
σ ϕ=
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pr
t
p
σφ

σx
L
2. Ebene Elastizitätstheorie
x
TM 2 2.2-7
08.10.15
2.1 Zylinderförmige Behälter
●
Spannungen am Flächenelement:
–
Kesselformeln:
r
p
pr
pr
σ x=
, σ ϕ=
2t
t
σφ
t
σx
σx
σφ
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-8
2.1 Zylinderförmige Behälter
●
08.10.15
Anmerkung:
–
Zusätzlich zu den Spannungen in Längs- und Umfangsrichtung wirkt noch eine Spannung in radialer Richtung, die auf
der Innenseite mit dem Druck p übereinstimmt und auf der
Außenseite null ist.
–
Für r/t > 10 ist diese Spannung um den Faktor 10 kleiner als
die Spannung in Umfangsrichtung.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-9
08.10.15
2.2 Kugelförmige Behälter
●
Aufgabenstellung:
–
–
Ein dünnwandiger kugelförmiger Behälter wird
durch den konstanten Innendruck p belastet.
p
r
Gesucht sind die Spannungen im Behälter.
t
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-10
08.10.15
2.2 Kugelförmige Behälter
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Lösung:
–
Gleichgewichtsbedingung für eine Halbkugel:
∑ F z =0
2
: σ⋅2 π r t − p π r =0

z
p
σ
pr
σ=
2t
–
Die Spannung hat für jeden Schnitt mit einer Ebene durch
den Mittelpunkt den gleichen Wert.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-11
08.10.15
2.2 Kugelförmige Behälter
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Spannungen am Flächenelement:
–
Kesselformel:
r
pr
σ=
2t
σ
t
σ
σ
σ
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.2-12

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