4. Frequenzganganalyse
●
●
08.03.17
Die Berechnung der Antwort auf eine harmonische Anregung wird als Frequenzganganalyse bezeichnet.
Mit Hilfe der Frequenzganganalyse werden die Übertragungsfunktionen berechnet.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-1
4. Frequenzganganalyse
08.03.17
4.1 Grundgleichung
4.2 Direkte Frequenzganganalyse
4.3 Modale Frequenzganganalyse
4.4 Praktische Hinweise
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-2
08.03.17
4.1 Grundgleichung
●
Grundgleichung:
–
Aus der Bewegungsgleichung
[ M ] [ ü(t ) ] + [ D ] [ u̇(t ) ] + [ K ] [ u (t ) ] =[ l (t ) ]
für das Finite-Elemente-Modell folgt mit
iΩt
i Ωt
l
(t
)
=ℜ
L
(Ω)
e
,
u
(t
)
=ℜ
U
(Ω)
e
[ ] ([
] ) [
] ([
] )
die Grundgleichung der Frequenzganganalyse:
(−Ω2 [ M ] +i Ω [ D ] + [ K ] ) [ U (Ω) ]= [ L (Ω) ]
–
[L] und [U] sind komplexe Matrizen mit den Informationen
über Amplitude und Phase.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-3
4.1 Grundgleichung
–
08.03.17
Die komplexe Matrix
[ K d (Ω) ]= [ K ] +i Ω [ D ]−Ω 2 [ M ]
heißt dynamische Steifigkeitsmatrix.
●
Partitionierung:
–
Unterteilung der Grundgleichung in lokale Freiheitsgrade
und Freiheitsgrade mit vorgegebenen Verschiebungen ergibt:
( [
−Ω
2
[ M LL] [ M LP ]
T
M
[ LP ] [ M P P]
Prof. Dr. Wandinger
] [
+i Ω
[DL L] [ DLP ]
T
D
[ L P] [ DP P]
][
+
]) [ ] [ ]
[ K L L ] [ K L P ] [U L ] = [ LL ]
T
K
[ L P ] [ K P P ] [U P ] [ L P ]
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-4
08.03.17
4.1 Grundgleichung
–
Bei reiner Kraftanregung sind die vorgeschriebenen Verschiebungen null. Für die Verschiebungen an den lokalen
Freiheitsgraden folgt:
2
−Ω
( [ M L L ] +i Ω [ D L L ] + [ K L L ] ) [ U L (Ω)] =[ L L (Ω)]
–
Für die Lagerreaktionen gilt:
T
[ L P (Ω) ]=(−Ω [ M L P ]
2
–
T
T
+i Ω [ D L P ] + [ K L P ]
) [ U L (Ω)]
Bei reiner Bewegungsanregung sind die Kräfte an den lokalen Freiheitsgraden null. Für die Verschiebungen folgt:
2
−Ω
( [ M L L ] +i Ω [ D L L ] + [ K L L ] ) [ U L (Ω)]
=−(−Ω2 [ M L P ] +i Ω [ D L P ] + [ K L P ] ) [ U P (Ω) ]
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-5
08.03.17
4.1 Grundgleichung
–
Für die Lagerreaktionen gilt:
T
T
T
[ L P (Ω) ]=(−Ω [ M L P ] +i Ω [ D L P ] + [ K L P ] ) [ U L (Ω)]
+ (−Ω2 [ M P P ] +i Ω [ D P P ] + [ K P P ] ) [ U P (Ω) ]
2
–
Im allgemeinen Fall lautet die Gleichung zur Berechnung
der Verschiebungen an den lokalen Freiheitsgraden:
(−Ω2 [ M L L ] +i Ω [ D L L ] + [ K L L ] ) [ U L (Ω)]
2
= [ L L (Ω) ]−(−Ω [ M L P ] +i Ω [ D L P ] + [ K L P ] ) [ U P (Ω) ]
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-6
4.1 Grundgleichung
●
08.03.17
Lastmuster:
–
Reale Lasten lassen sich durch Überlagerung von Lastmustern beschreiben:
[ l (t ) ]=∑ [ l k ] ϕk (t )
k
–
Die Lastmuster [l k ] beschreiben die räumliche Verteilung
der Last und die Funktionen ϕk(t) die zeitliche Abhängigkeit.
–
Für die Frequenzganganalyse folgt:
[ L (Ω)]=∑ [ L k ] Φk (Ω)
k
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-7
4.1 Grundgleichung
08.03.17
–
Für die Ermittlung der Übertragungsfunktionen werden die
Antworten [U k (Ω)] für jeweils ein Lastmuster mit Φ k (Ω) = 1
berechnet.
–
In dem häufigen Fall, dass die Übertragungsfunktionen für
Einzellasten zu berechnen sind, enthält das Lastmuster nur
einen einzigen Eintrag, und zwar in der Zeile, die dem Freiheitsgrad entspricht, an dem die Last angreift.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-8
4.2 Direkte Frequenzganganalyse
●
Methode:
–
●
08.03.17
Die Grundgleichung der Frequenzganganalyse wird für jede
gewünschte Erregerkreisfrequenz Ω gelöst.
Vorteile:
–
Es werden keine weiteren Näherungen gemacht.
–
Frequenzabhängige Steifigkeits- oder Dämpfungsmatrizen,
wie sie z. B. bei viskosen Dämpfern auftreten, können leicht
berücksichtigt werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-9
4.2 Direkte Frequenzganganalyse
●
●
08.03.17
Nachteile:
–
Für jede Erregerkreisfrequenz muss ein komplexes lineares
Gleichungssystem von sehr großer Dimension gelöst werden.
–
In der Nähe von Resonanzfrequenzen ist das Gleichungssystem schlecht konditioniert.
Einsatz:
–
Die direkte Frequenzganganalyse kommt zum Einsatz,
wenn die Antwort nur für sehr wenige Erregerfrequenzen zu
berechnen ist.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-10
4.3 Modale Frequenzganganalyse
●
Methode:
–
●
08.03.17
Die Antwort wird durch eine Überlagerung von Eigenvektoren approximiert. Dabei ist die Anzahl der verwendeten
Eigenvektoren klein im Vergleich zur Anzahl der Freiheitsgrade.
Vorteile:
–
Das zu lösende Gleichungssystem ist von wesentlich kleinerer Dimension als bei der direkten Frequenzganganalyse.
–
Im Falle von modaler Dämpfung ergeben sich entkoppelte
Gleichungen.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-11
08.03.17
4.3 Modale Frequenzganganalyse
●
●
Nachteile:
–
Die Methode liefert eine Näherungslösung für die Grundgleichung der Frequenzganganalyse.
–
Wenn die Matrizen frequenzabhängig sind, sind weitere
Näherungen nötig.
–
Es muss zuerst eine Modalanalyse durchgeführt werden,
um die Eigenvektoren und Eigenfrequenzen zu ermitteln.
Einsatz:
–
Die modale Frequenzganganalyse wird verwendet, wenn
die Antworten für sehr viele Erregerfrequenzen gesucht
sind. Sie ist daher die Standardmethode für die Berechnung
von Übertragungsfunktionen.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-12
4.3 Modale Frequenzganganalyse
08.03.17
4.3.1 Modale Reduktion
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
4.3.3 Fehlerabschätzung
4.3.4 Modale Beiträge
4.3.5 Bewegungsanregung
4.3.6 Modale effektive Massen
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-13
08.03.17
4.3.1 Modale Reduktion
●
Transformation auf modale Koordinaten:
–
Da die Eigenvektoren eine Basis bilden, lässt sich jeder
Verschiebungsvektor als Linearkombination der Eigenvektoren darstellen:
N
[ U L ] =∑ [ x n ] Q n
n=1
–
Mit den Matrizen
T
[ X ] =[ [ x 1 ] ⋯ [ x N ] ] und [ Q ] = [ Q 1 ⋯ Q N ]
gilt: [ U L ]= [ X ][ Q ]
–
[U L ] und [Q] sind komplexe Matrizen, während [X] reell ist.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-14
08.03.17
4.3.1 Modale Reduktion
–
Einsetzen in die Grundgleichung und Projektion auf die Eigenvektoren ergibt:
T
T
T
2
−Ω
( [ X ] [ M L L ] [ X ] +i Ω [ X ] [ D L L ] [ X ] + [ X ] [ K L L ] [ X ] ) [ Q ]
T
=[ X ] [ L L ]
–
Mit den modalen Matrizen
T
T
[ M ]X =[ X ] [ M L L ] [ X ] , [ D ]X =[ X ] [ D L L ] [ X ]
T
T
[ K ]X =[ X ] [ K L L ] [ X ] , [ L ]X =[ X ] [ L L ]
folgt:
Prof. Dr. Wandinger
(−Ω2 [ M ] X +i Ω [ D ]X + [ K ] X ) [ Q ]= [ L ] X
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-15
08.03.17
4.3.1 Modale Reduktion
–
Wenn die Eigenvektoren massennormiert sind, folgt aus
den Orthogonalitätseigenschaften der Eigenvektoren:
[
]
ω 21 ⋯ 0
T
T
[ M ] X = [ X ] [ M ] [ X ]= [ I ] , [ K ] X = [ X ] [ K ] [ X ] = ⋮ ⋱ ⋮ = [ Ω ] 2
0 ⋯ ω2N
–
–
Die Gleichungen sind nur über die Dämpfung gekoppelt.
Bei modaler Dämpfung gilt:
Prof. Dr. Wandinger
[
2 ω1 D 1 ⋯
0
[ D ]X = ⋮
⋱
⋮
0
⋯ 2 ωN D N
5. Methode der finiten Elemente
]
Strukturdynamik
5.4-16
08.03.17
4.3.1 Modale Reduktion
–
Bei modaler Dämpfung sind die Gleichungen entkoppelt:
T
2
2
−Ω
+2
i
Ω
ω
D
+ω
(
n
n
n ) Q n = [ x n ] [ L L ] , n=1,… N
–
Daraus lassen sich die modalen Koeffizienten bestimmen:
T
Q n (Ω)=
–
[ xn] [ LL ]
2
2
ω n−Ω +2 i Ω ω n D n
T
=H (ηn , D n )
[ xn ] [ L L ]
2
ωn
Ω
, ηn = ω
n
Die modale Übertragungsfunktion
1
H (η , D )=
1−η2 +2 i D η
stimmt mit der Übertragungsfunktion eines Systems mit einem Freiheitsgrad überein.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-17
4.3.1 Modale Reduktion
●
08.03.17
Modale Reduktion:
–
Da der Rechenaufwand zur Ermittlung aller Eigenschwingungen in der Regel deutlich größer ist als der Rechenaufwand zur Lösung der Grundgleichung, ist die modale Transformation für die praktische Berechnung unbrauchbar.
–
Die meisten Eigenfrequenzen liegen jedoch weit oberhalb
der Erregerfrequenz. Ihre Antwort ist daher mit guter Näherung quasistatisch.
–
Daher ergeben sich bereits brauchbare Ergebnisse, wenn
nur die p ≪ N Eigenschwingungen mit den niedrigsten Eigenfrequenzen verwendet werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-18
08.03.17
4.3.1 Modale Reduktion
–
Mit den Abkürzungen
T
[ X ]= [ [ x 1 ] ⋯ [ x p ] ] , [ Q ]= [ Q 1 ⋯ Q p ]
p T
p
p T
[ M ] p = [ X ] [ M L L ] [ X ] , [ K ] p =[ X ] [ K L L ] [ X p ]
p T
p
p T
[ D ] p= [ X ] [ D L L ] [ X ] , [ L ] p= [ X ] [ L L ]
p
p
lauten die Gleichungen für die modale Reduktion:
[ U L ]≈ [ U Lp ] =[ X p ][ Q p ]
(−Ω2 [ M ] p +i Ω [ D ] p + [ K ] p ) [ Q p ]= [ L ] p
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-19
4.3.1 Modale Reduktion
–
08.03.17
Die Anzahl der benötigten Eigenschwingungen ergibt sich
aus der Bedingung
η p < 0,3 → ω p >3Ωmax
–
In der Praxis ist p um mehrere Zehnerpotenzen kleiner als
N, so dass sich die modale Reduktion auch dann lohnt,
wenn die Dämpfung nicht modal ist.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-20
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
●
●
Bei der gewöhnlichen modalen Reduktion wird die quasistatische Antwort der weggelassenen Eigenvektoren
komplett vernachlässigt.
Damit ergibt sich eine brauchbare Näherung für die Verschiebungen, wenn gilt:
{|
T
| }
2
n
max [ x n ] [ L L ] /ω ≪max
n> p
●
●
n≤ p
{|
T
| }
2
x
L
/ω
([ n ] [ L ]) n
Diese Bedingung ist in der Praxis meist erfüllt.
Antworten wie Verzerrungen und Spannungen beruhen
auf räumlichen Ableitungen der Eigenfunktionen.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-21
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
●
●
●
08.03.17
Deshalb ist der Beitrag der höheren Eigenschwingungen
zu den Verzerrungen und Spannungen größer als zu den
Verschiebungen, weil die Wellenlänge mit zunehmender
Frequenz abnimmt.
Daher sind die mit der modalen Reduktion berechneten
Näherungen für die Verzerrungen und Spannungen oft
nicht befriedigend.
Wird die quasistatische Antwort der weggelassenen Eigenvektoren berücksichtigt, ergeben sich für alle Antworten gute Näherungen.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-22
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
●
Methode der modalen Beschleunigungen:
–
Da die Antwort der weggelassenen Eigenvektoren quasistatisch ist, können die Beiträge zu den Trägheits- und Dämpfungskräften vernachlässigt werden.
–
Umstellen der Grundgleichung ergibt zunächst:
[ K L L ][ U L ]= [ L L ] + ( Ω2 [ M L L ]−i Ω [ D L L ] ) [ U L ]
–
Werden die Trägheits- und Dämpfungskräfte mit den aus
der modalen Reduktion gewonnenen Verschiebungen berechnet, können korrigierte Verschiebungen aus
[ K L L ] [ U Lpc ] =[ L L ] + ( Ω2 [ M L L ]−i Ω [ D L L ] ) [ X p ][ Q p ]
berechnet werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-23
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
–
Das Verfahren der modalen Beschleunigungen wird im Englischen als Mode Acceleration Method oder Force Summation Method bezeichnet.
–
Zur Berechnung der verbesserten Verschiebungen muss
ein lineares Gleichungssystem gelöst werden.
–
Die rechte Seite hängt von der Erregerkreisfrequenz Ω ab.
Wenn die Antwort für viele Erregerfrequenzen gesucht ist,
treten viele rechte Seiten auf.
–
Die Berechnung kann dann recht aufwändig werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-24
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
●
08.03.17
Restmodekorrektur:
–
Die Verschiebungen setzen sich zusammen aus den mit der
modalen Reduktion berechneten Verschiebungen und einer
Korrektur:
[ U L ]=[ U Lp ] + [ Δ U L ]
–
Der Korrekturterm beschreibt den Beitrag der in der modalen Reduktion vernachlässigten Eigenvektoren.
–
Wenn die Antwort der vernachlässigten Eigenvektoren quasistatisch ist, gilt näherungsweise:
N
[ Δ U L ]≈
Prof. Dr. Wandinger
T
1
x
x
∑ ω2 [ n ][ n ] [ L L ]
n= p +1
n
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-25
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
–
08.03.17
Für Ω = 0 liefert die Grundgleichung die statische Lösung:
[ K L L ] [ U SL ] = [ L L ]
–
Für die modalen Koeffizienten der statischen Lösung gilt:
Q nS =
–
N
T
T
1
1
S
x
L
→
U
=
x
x
[ L ] ∑ 2 [ n ][ n ] [ L L ]
2 [ n] [ L]
ωn
n=1 ω n
Multiplikation mit der Steifigkeitsmatrix ergibt:
N
[K L L]∑
n=1
Prof. Dr. Wandinger
T
1
S
x
x
L
=
K
U
L L][
L ]=[ L L ]
2 [ n ][ n ] [ L ] [
ωn
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-26
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
–
Daraus lässt sich die Summe über die vernachlässigten Eigenvektoren berechnen:
N
[K L L] ∑
n= p +1
–
Mit
p
T
T
1
1
x x
L =L −
K L L ][ x n ][ x n ] [ L L ]
2 [ n ][ n ] [ L ] [ L ] ∑
2[
ωn
n=1 ω n
2
K
x
=ω
[ L L ][ n ] n [ M L L ][ x n ] folgt für die Korrektur:
p T
[ K L L ][ Δ U L ]= [ L L ]− [ M L L ] [ X ][ X ] [ L L ]
p
–
Auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen die Lasten
abzüglich der Lasten, die von den berechneten Eigenvektoren aufgenommen werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-27
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
–
Für eine Last der Form [ L L (Ω) ] =∑ [ L Lk ] Φ k (Ω)
k
werden zunächst die Korrekturen
p T
[ Δ U Lk ] =[ K L L ] ( [ L Lk ]−[ M L L ] [ X ][ X ] [ L Lk ] )
−1
p
ermittelt.
–
Damit lassen sich die Korrekturen für die einzelnen Erregerfrequenzen leicht berechnen:
[ Δ U L (Ω)]=∑ [ Δ U Lk ] Φ k (Ω)
k
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-28
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
●
Erweiterte modale Reduktion:
–
Bei der erweiterten modalen Reduktion wird die quasistatische Antwort der vernachlässigten Eigenvektoren durch
zusätzliche Vektoren berücksichtigt, die aus den Lastmustern gewonnen werden.
–
Zunächst wird für jedes Lastmuster ein statischer Vektor
aus der Gleichung
S
p
p T
~
[ K L L ] [ x k ] =[ L Lk ]− [ M L L ] [ X ][ X ] [ L Lk ]
gewonnen.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-29
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
–
Für diese Vektoren gilt:
T
[ xn]
T
1
S
S
~
~
M
x
=
x
K
x
[
]
[
[ L L] k
L L]
k]
2 [ n] [
ωn
T
T
T
1
= 2 ( [ x n ] [ L L ]− [ x n ] [ M L L ][ x n ][ x n ] [ L L ] )=0
ωn
–
Diese statischen Vektoren sind also massenorthogonal bezüglich den berechneten Eigenvektoren.
–
Durch Linearkombination der statischen Vektoren lassen
sich neue Vektoren gewinnen, die massenorthonormal sind.
–
Dazu werden die statischen Vektoren zu einer Matrix zusammengefasst:
[~
X S ] =[ [ ~
x 1S ] … [ ~
x SK ] ]
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-30
08.03.17
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
–
Die Lösung des projizierten Eigenwertproblems
~
S T
~
S ~
~
S T
~
S ~ ~2
[ X ] [ K L L ] [ X ] [ Q ] =[ X ] [ M L L ] [ X ] [ Q ] [ Ω ]
liefert Vektoren [ X S ] = [ ~
XS ] [~
Q] ,
die orthogonal bezüglich der Massenmatrix und der Steifigkeitsmatrix sind, und massennormiert werden können.
–
Die modale Reduktion erfolgt nun mit der Matrix
[ X pe ]=[ [ X p ]
–
[ X S ]]
Damit kann die statische Antwort exakt wiedergegeben
werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-31
4.3.2 Verbesserte modale Reduktion
–
08.03.17
Die Eigenkreisfrequenzen ~
ω n des projizierten Eigenwertproblems sind deutlich höher als die Eigenkreisfrequenzen der
p berechneten Eigenschwingungen sind. Sie haben keine
physikalische Bedeutung.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-32
4.3.3 Fehlerabschätzung
●
●
●
08.03.17
Die Qualität der mit modaler oder verbesserter modaler
Reduktion gewonnenen Lösung kann mit Hilfe des Fehlers in der Formänderungsenergie beurteilt werden.
Der Fehler in der Formänderungsenergie kann bereits vor
Durchführung der Frequenzganganalyse abgeschätzt
werden.
Formänderungsenergie:
–
Die zeitabhängige Formänderungsenergie berechnet sich
zu
T
T
1
1
F
e (t )= [ u (t ) ] [ K ] [ u (t ) ] = [ u L (t ) ] [ K L L ] [ u L (t ) ]
2
2
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-33
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
●
Im Falle eines harmonischen zeitlichen Verlaufs gilt für den
zeitlichen Mittelwert der Formänderungsenergie:
H
1
F
F
E = ⟨ e (t ) ⟩ = [ U L ] [ K L L ][ U L ]
4
Fehler in der Formänderungsenergie:
–
Der Fehler in der Formänderungsenergie ist definiert durch
H
1
Fp
p H
Δ E = [ U L ] [ K L L ][ U L ]− [ U L ] [ K L L ] [ U Lp ]
4
Mit Hn = H(η n , D n ) gilt für die Verschiebungen:
(
–
N
[ U L ] =∑
n=1
Prof. Dr. Wandinger
Hn
ω
2
n
)
T
p
[ x n ][ x n ] [ L L ] , [ U ]= ∑
p
L
n=1
Hn
ω
5. Methode der finiten Elemente
2
n
T
[ x n ][ x n ] [ L L ]
Strukturdynamik
5.4-34
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
Unter Berücksichtigung der Orthogonalitätseigenschaften
der Eigenvektoren folgt für den Fehler in der Formänderungsenergie:
T
(
2 [ xn ] [ LL ]
1
Δ E = ∑ |H n|
ωn
4 n= p +1
N
Fp
●
2
)
Abschätzung des Fehlers:
–
Für n > p gilt: ηn =Ω/ω n < η p → H n < H p
–
[ xn ] [ LL]
2
1
Daraus folgt: Δ E < |H p| ∑
ωn
4
n= p +1
Prof. Dr. Wandinger
Fp
N
(
T
5. Methode der finiten Elemente
2
)
Strukturdynamik
5.4-35
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
Die Summe über die weggelassenen Eigenvektoren lässt
sich mit Hilfe der Formänderungsenergie der statischen Lösung berechnen.
–
Für die statische Lösung gilt:
T
N
−1
[ u L ] =[ K L L ] [ L L ] =∑
[ x n ][ x n ] [ L L ]
n=1
–
ω 2n
Die Formänderungsenergie der statischen Lösung berechnet sich zu
p
T
1
1
E = [ u L ] [ K L L ][ u L ]=∑
2
n=1 2
F
S
Prof. Dr. Wandinger
(
T
[ xn ] [ LL]
ωn
2
)
N
+
5. Methode der finiten Elemente
∑
n= p +1
1
2
(
T
[ xn ] [ L L ]
ωn
2
)
Strukturdynamik
5.4-36
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
Mit den modalen Formänderungsenergien
1
E =
2
F
n
folgt:
N
∑
n= p +1
–
(
T
[ xn ] [ LL]
ωn
(
2
)
T
[ xn ] [ L L ]
ωn
N
=2
∑
n= p +1
2
)
p
E Fn =2 E FS −2 ∑ E Fn
n=1
Damit gilt für den Fehler in der Formänderungsenergie:
(
p
2
Fp 1
Δ E < |H p| E FS − ∑ E Fn
2
n=1
Prof. Dr. Wandinger
)
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-37
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
Als Fehlermaß dient der auf die statische Formänderungsenergie bezogene Fehler in der Formänderungsenergie:
e Fp =
Fp
(
p
E Fn
ΔE
1
<
H p| 1−∑ F
|
F
2
ES
n=1 E S
2
)
–
Der erste Faktor strebt mit zunehmendem p gegen eins,
während der zweite Faktor gegen null strebt.
–
Die modalen Formänderungsenergien zeigen an, wie stark
die einzelnen Eigenvektoren an der Lösung beteiligt sind.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-38
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
Wird die quasistatische Antwort der weggelassenen Eigenschwingungen durch eine Restmodekorrektur oder die erweiterte modale Reduktion berücksichtigt, gilt:
p
[ U ] =∑
p
L
–
n=1
Hn
ω
2
n
[ x n ][ x n ]
N
T
1
[ L L ] + ∑ 2 [ x n ][ x n ] [ L L ]
n= p +1 ω n
Daraus folgt für das Fehlermaß:
e Fpc <
–
T
(
p
E Fn
1
H p| −1 ) 1−∑ F
(
|
2
n=1 E S
2
)
Bei Berücksichtigung der quasistatischen Antwort streben
beide Faktoren des Fehlermaßes gegen null.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-39
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
●
Beispiel:
–
Daten:
●
●
●
●
2a
a = 2,5 m
E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3
A = 10-4 m2, Iz = 10-8 m4
Dämpfung:
D
F
a
C
G
B
H
F
a
αM
1
Dn= α K ω n+ ω
n
2
(
)
1
mit α K =10 s , α M =0,2
s
y
a
−4
Prof. Dr. Wandinger
E
5. Methode der finiten Elemente
A
x
K
Strukturdynamik
5.4-40
08.03.17
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
Gesucht:
●
●
–
Übertragungsfunktionen für eine Kraft in x-Richtung am Punkt
G:
HBG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt B
HEG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt E
HGG : Verschiebung in x-Richtung am Punkt G
Frequenzbereich: 0 Hz bis 100 Hz
Modale Reduktion:
●
●
Berechnet werden die ersten 40 Eigenschwingungen.
Die Frequenz der höchsten berechneten Eigenschwingung
liegt bei 162,5 Hz.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-41
4.3.3 Fehlerabschätzung
●
08.03.17
Normierte modale Formänderungsenergien:
Modal strain energies of component "frame"
Loadcase
mode
1
2
3
4
5
6
7
8
38
39
40
Prof. Dr. Wandinger
1:
frequency
En/ES
Sum
1 - Sum
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
9.33939e-01
3.86333e-02
1.40064e-09
2.63196e-02
1.66999e-09
8.39228e-11
6.93320e-05
4.50815e-04
…
0.933939
0.972572
0.972572
0.998892
0.998892
0.998892
0.998961
0.999412
…
6.60611e-02
2.74278e-02
2.74278e-02
1.10814e-03
1.10813e-03
1.10813e-03
1.03880e-03
5.87986e-04
…
153.09 Hz
156.65 Hz
162.49 Hz
6.03192e-08
1.31133e-07
2.36175e-06
0.999954
0.999954
0.999957
4.58812e-05
4.57500e-05
4.33883e-05
0.87
3.02
5.10
5.82
5.89
6.30
13.82
16.20
…
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-42
4.3.3 Fehlerabschätzung
●
●
08.03.17
Bezogener Fehler in der Formänderungsenergie:
Die Fehleranalyse zeigt, dass die Anzahl der Eigenschwingungen ausreichend ist.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-43
4.3.3 Fehlerabschätzung
●
Eigenschwingungen:
●
Die Vernetzung ist fein genug.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
08.03.17
Strukturdynamik
5.4-44
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
08.03.17
Übertragungsfunktionen:
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-45
4.3.3 Fehlerabschätzung
●
Frequenzraster:
–
–
–
–
08.03.17
45 gleichmäßig gewählte Frequenzen zwischen 0,1 Hz
und 1 Hz
500 gleichmäßig gewählte Frequenzen zwischen 1 Hz und
100 Hz
9 gleichmäßig gewählte Frequenzen pro Halbwertsbreite
Fehler in den Verschiebungen:
●
Die folgenden Diagramme zeigen die Beträge der Differenzen
zwischen den mit direkter Frequenzganganalyse und den mit
modaler Reduktion berechneten Übertragungsfunktionen, bezogen auf das Ergebnis der direkten Frequenzganganalyse.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-46
4.3.3 Fehlerabschätzung
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
08.03.17
Strukturdynamik
5.4-47
4.3.3 Fehlerabschätzung
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
08.03.17
Strukturdynamik
5.4-48
4.3.3 Fehlerabschätzung
–
08.03.17
Bezogener Fehler in der Formänderungsenergie:
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5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-49
4.3.3 Fehlerabschätzung
●
08.03.17
Die starken Schwankungen im tatsächlichen Fehler sind auf
numerische Fehler zurückzuführen, die durch die Fehlerabschätzung nicht erfasst werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-50
4.3.4 Modale Beiträge
●
08.03.17
Definition:
–
Für jede Antwort R, die linear von den Verschiebungen abN
N
hängt, gilt:
R=∑ Q n R n =∑ C n
n=1
n=1
–
Dabei ist Rn die aus dem n-ten Eigenvektor berechnete Antwort, z. B. eine Verschiebung oder eine Spannungskomponente.
–
Die Summanden
C n =Q n R n
geben die Beiträge der einzelnen Eigenschwingungen zur
gesamten Antwort an.
–
Sie heißen modale Beitragsfaktoren.
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5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-51
08.03.17
4.3.4 Modale Beiträge
–
Die normierten modalen Beitragsfaktoren sind die durch die
Gesamtantwort dividierten modalen Beitragsfaktoren:
c n=C n / R
–
●
Modale Beitragsfaktoren und normierte Beitragsfaktoren
sind komplexe Größen.
Interpretation:
–
Aus
N
∑ c n=
n=1
N
1
C n =1
∑
R n=1
folgt, dass die Summe der Realteile der normierten modalen Beitragsfaktoren eins ergibt und die Summe der Imaginärteile null.
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5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-52
4.3.4 Modale Beiträge
08.03.17
–
Anhand der Realteile der normierten modalen Beitragsfaktoren kann festgestellt werden, welche Eigenschwingungen
den größten Beitrag zur Antwort liefern.
–
Positive Realteile zeigen an, dass die Eigenschwingung
einen Beitrag liefert, der in Phase mit der gesamten Antwort
ist.
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5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-53
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
●
Bewegungsgleichung:
–
Bei reiner Bewegungsanregung lautet die zu lösende Gleichung:
2
−Ω
( [ M L L ] +i Ω [ D L L ] + [ K L L ] ) [ U L (Ω)]
=−(−Ω2 [ M L P ] +i Ω [ D L P ] + [ K L P ] ) [ U P (Ω) ]
–
Bei der direkten Frequenzganganalyse wird diese Gleichung für jede Erregerfrequenz gelöst.
–
Die Lagerreaktionen folgen dann aus
T
T
T
[ L P (Ω) ]=(−Ω [ M L P ] +i Ω [ D L P ] + [ K L P ] ) [ U L (Ω) ]
2
+ (−Ω [ M P P ] +i Ω [ D P P ] + [ K P P ] ) [ U P (Ω) ]
2
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-54
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
●
Modale Frequenzganganalyse:
–
Zur Berechnung der Eigenvektoren wird die Struktur an den
Freiheitsgraden festgehalten, an denen die Verschiebungen
vorgeschrieben sind.
–
Der Ansatz [ U L ] ≈ [ X
p
p
][ Q p ]
ist ungünstig, da die Eigenformen bei Annäherung an den
Rand mit der vorgeschriebenen Bewegung stetig gegen null
gehen, während die tatsächliche Verschiebung stetig gegen
die vorgeschriebene Verschiebung geht.
–
Um eine gute Näherung zu erreichen, wird deshalb eine
sehr große Anzahl von Eigenvektoren benötigt.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-55
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
–
Wesentlich günstiger ist eine Aufspaltung der Verschiebungsantwort in eine statische Grundbewegung und eine
Antwort relativ zu dieser Grundbewegung:
G
r
U
=
U
+
U
[ L ] [ L ] [ L]
–
Die statische Grundbewegung ist die statische Verformung
infolge der vorgeschriebenen Verschiebungen:
[ K L L ] [ U ] + [ K L P ][ U P ]= [ 0 ]
G
L
–
−1
→ [ U ] =−[ K L L ]
G
L
[ K L P ][ U P ]
Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt:
(−Ω 2 [ M L L ] +i Ω [ D L L ] + [ K L L ] ) [ U rL ]
=−(−Ω2 [ M L L ] +i Ω [ D L L ] ) [ U GL ] −(−Ω2 [ M L P ] +i Ω [ D L P ] ) [ U P ]
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-56
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
–
Die Relativverschiebungen werden durch eine Überlagerung der Eigenvektoren approximiert:
[ U L ] =[ X
rp
–
p
][ Q p ]
Projektion auf die Eigenvektoren ergibt:
(−Ω2 [ M ] p +i Ω [ D ] p + [ K ] p ) [ Q p ]
p T
= [ X ] ( Ω2 ( [ M L L ] [ U GL ] + [ M L P ][ U P ] ) )
−[ X
–
p T
]
(
i Ω ( [ D L L ] [ U GL ] + [ D L P ][ U P ] )
)
Die Eigenschwingungen werden durch die Trägheitskräfte
und die Dämpfungskräfte infolge der vorgeschriebenen Bewegung angeregt.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-57
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
–
●
Solange die Erregerfrequenz kleiner als etwa 30 % der ersten Eigenfrequenz ist, können diese Trägheits- und Dämpfungskräfte vernachlässigt werden. Dann folgt die Antwort
der Struktur quasistatisch der vorgeschriebenen Bewegung.
Dämpfungsmatrix:
–
–
Wenn die Dämpfung durch modale Lehrsche Dämpfungsmaße beschrieben wird, ist die Dämpfungsmatrix [D LL ] nicht
gegeben.
Bekannt ist: [ D ] p = [ X
Prof. Dr. Wandinger
p T
]
[
2 ω1 D 1 ⋯
0
⋱
⋮
[ D L L ] [ X ]= ⋮
0
⋯ 2 ωp Dp
p
5. Methode der finiten Elemente
]
Strukturdynamik
5.4-58
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
–
Für die Matrix [X] aller Eigenvektoren gilt:
T
T
−1
[ I ] =[ X ] [ M L L ] [ X ] → [ X ] = [ X ] [ M L L ]
–
Für die Dämpfungsmatrix folgt:
T
T
T
−1
[ X ] [ D L L ]= [ X ] [ D L L ] [ X ] [ X ] = [ D ] X [ X ] [ M L L ]
–
Mit
p T
p T
[ X ] [ D L L ]= [ D ] p [ X ] [ M L L ]
lautet die zu lösende Gleichung:
T
2
p
2
[
]
−Ω
[
M
]
+i
Ω
[
D
]
+
[
K
]
Q
=Ω
(
[Xp]
p
p
p)
(
−i Ω [ D ] p [ X
Prof. Dr. Wandinger
G
M
U
( [ L L ] [ L ] +[ M L P ][ U P ] )
p T
p T
] [ M L L ] [ U ] + [ X ] [ D L P ][ U P ] )
5. Methode der finiten Elemente
G
L
Strukturdynamik
5.4-59
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
●
Fehlerabschätzung:
–
–
Für die Formänderungsenergie gilt:
H
1
1( G H
F
r H
E = [ U ] [ K ][ U ]= [ U ] + [ U ] ) [ K ] ([ U G ] + [ U r ])
4
4
1 ( [ G ]H
G
G H
r
r H
G
r H
= U [ K ] [ U ]+[ U ] [ K ] [ U ]+[ U ] [ K ] [ U ]+[U ] [ K ] [ U r ])
4
Wegen
[
[ K ] [U ]=
G
gilt:
G H
G
K
U
[ L L ] [ L ] + [ K L P ][ U P ]
T
[ K L P ] [ U ] + [ K P P ][ U P ]
G
L
][ ] [ ]
=
[0]
[ LP ]
r
U
, [ U ]= [ L ]
[0]
r
r H
[ U ] [ K ] [ U ]=0, [ U ] [ K ] [ U G ]=0
Prof. Dr. Wandinger
r
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-60
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
N
–
r
Mit [ U ] =∑ [ x n ] Q n folgt für die Formänderungsenergie:
n=1
2
1
1
G
2
E = [ U ] [ K ] [ U ] + ∑ ω n|Q n|
4
4 n=1
Für den Fehler in der Formänderungsenergie folgt:
F
–
N
G H
N
2
1
2
Δ E = ∑ ω n|Q n|
4 n= p +1
Fp
–
Werden die Dämpfungskräfte vernachlässigt, gilt:
2
T
Ω
Q n =H n 2 [ x n ] ( [ M L L ] [ U GL ] + [ M L P ][ U P ] )
ωn
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-61
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
–
Für den Fehler folgt:
(
[ xn]
2 4
1
Δ E < |H p| Ω ∑
4
n= p +1
N
Fp
–
T
( [ M L L ] [ U ] + [ M L P ][ U P ] )
G
L
ωn
2
)
Die Summe über die vernachlässigten Eigenvektoren kann
wie im Falle der Kraftanregung mit Hilfe der statischen Lösung von
[ K L L ][ u L ]=Ω2 ( [ M L L ] [ U GL ] + [ M L P ][ U P ] )
berechnet werden.
–
Beim Bilden des bezogenen Fehlers kürzt sich der Faktor
Ω 4.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-62
08.03.17
4.3.5 Bewegungsanregung
●
Restmodekorrektur:
–
Die Restmodekorrektur kann wie im Falle der Kraftanregung berechnet werden.
–
Dabei wird die Last
2
G
L
=Ω
M
U
[ L]
( [ L L ] [ L ] + [ M L P ][ U P ] )
verwendet.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-63
4.3.6 Modale effektive Massen
●
●
08.03.17
Wenn die Bewegung der Anschlusspunkte im Wesentlichen eine Starrkörperbewegung ist, kann der Fehler in
der Formänderungsenergie mit Hilfe der modalen effektiven Massen abgeschätzt werden.
Starrkörperbewegungen:
–
Jede Starrkörperbewegung lässt sich als Überlagerung der
sechs elementaren Starrkörperbewegungen darstellen.
–
Die elementaren Starrkörperbewegungen sind:
●
3 Einheitstranslationen in x-, y- oder z-Richtung
●
3 Einheitsrotationen um die x-, y- oder z-Achse
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-64
4.3.6 Modale effektive Massen
●
08.03.17
Modale Partizipationsfaktoren:
–
Sei [R k ] eine der sechs elementaren Starrkörperbewegungen:
G
U
=
R
,
U
[ P ] [ kP ] [ L ] =[ R kL ]
Wird angenommen, dass die Starrkörperbewegungen ungedämpft sind, d. h.
[ D L L ][ R kL ]= [ 0 ]
und [ D L P ][ R kP ]= [ 0 ] ,
lautet die Gleichung für die Relativbewegung:
2
r
2
−Ω
M
+i
Ω
D
+
K
U
=Ω
( [ L L ] [ L L ] [ L L ] ) [ L ] ( [ M L L ][ R kL ] + [ M L P ][ R kP ] )
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-65
08.03.17
4.3.6 Modale effektive Massen
–
Die modale Reduktion ergibt:
2
n
2
n
T
( 1+2 i D n ηn −η ) Q n =η [ x n ] ( [ M L L ][ R kL ] + ] M L P ][ R kP ] )
–
Mit den modalen Partizipationsfaktoren
Γkn= [ x n ]
folgt:
Prof. Dr. Wandinger
T
( [ M L L ][ R kL ] + [ M L P ][ R kP ] )
Q n =η2n H n Γ kn , H n =H ( ηn , D n )
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-66
08.03.17
4.3.6 Modale effektive Massen
●
Interpretation der modalen Partizipationsfaktoren:
–
Die modalen Partizipationsfaktoren hängen mit den Lagerkräften zusammen, die bei einer Eigenschwingung auftreten.
–
Für eine Eigenschwingung gilt:
−ω
–
2
n
[
][ ] [
[ M L L] [ M L P ] [ xn]
T
M
[ LP] [ M PP] [0]
][ ] [ ]
K L L ] [ K LP ] [ xn]
[
[0]
+
=
T
[ K L P ] [ K P P ] [0 ] [ LP ]
Die resultierende Lagerkraft berechnet sich zu
T
T
T
T
T
[ R kP ] [ L P ]=(−ω [ R kP ] [ M L P ] + [ R kP ] [ K L P ] ) [ x n ]
Prof. Dr. Wandinger
2
n
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-67
08.03.17
4.3.6 Modale effektive Massen
–
Mit
T
T
T
2
R
K
+
R
K
=
[
0
]
und
K
x
=ω
[ kL ] [ L L ] [ kP ] [ L P ]
[ L L ][ n ] n [ M L L ][ x n ]
folgt:
T
T
T
T
2
R
K
x
=−
R
K
x
=−ω
[ kP ] [ L P ] [ n ] [ kL ] [ L L ][ n ]
n [ R kL ] [ M L L ][ x n ]
–
Damit ist gezeigt:
T
T
T
T
2
2
R
L
=−ω
R
M
+
R
M
x
=−ω
[ kP ] [ P ]
( [ kP ] [ L P ] [ kL ] [ L L ] ) [ n ]
n Γ kn
–
Die modalen Partizipationsfaktoren sind proportional zu den
resultierenden Lagerreaktionen infolge einer Eigenschwingung.
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-68
4.3.6 Modale effektive Massen
–
●
08.03.17
Eigenschwingungen, für die die resultierenden Lagerkräfte
klein sind, werden durch eine Starrkörperbewegung der
Lagerpunkte wenig angeregt.
Modale effektive Massen:
–
–
Wenn die Struktur eine Starrkörperschwingung ausführt, gilt
für den zeitlichen Mittelwert der kinetischen Energie:
2
2
2
T
T
K
Ω
Ω
Ω
E k = [ R k ] [ M ] [ R k ]≈ [ R kL ] [ M L L ][ R kL ]= m kk
4
4
4
Die Starrkörperbewegung an den lokalen Freiheitsgraden
kann als Überlagerung der Eigenvektoren dargestellt werden:
N
N
T
[ R kL ]= ∑ [ x n ] q kn =∑ [ x n ][ x n ] [ M L L ][ R kL ]
n=1
Prof. Dr. Wandinger
n=1
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-69
08.03.17
4.3.6 Modale effektive Massen
–
T
Mit [ x n ] [ M L L ][ R kL ]≈Γkn folgt:
N
2 N
[ R kL ]= ∑ Γkn [ x n ] , E = Ω4
n=1
K
k
2
Ω
∑ Γ = 4 m kk
n=1
2
kn
2
–
Die Summanden Γ kn heißen modale effektive Massen.
–
Für Einheitstranslationen gilt:
N
2
Γ
∑ kn =m für k =1, 2,3
n=1
–
Für Einheitsrotationen gilt:
N
N
N
n=1
n=1
n=1
∑ Γ24 n =J x , ∑ Γ25 n =J y , ∑ Γ26 n=J z
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-70
08.03.17
4.3.6 Modale effektive Massen
●
Fehlerabschätzung:
–
Mit
T
2
T
[ x n ] [ L L ]=Ω [ x n ]
2
M
R
+
M
R
=Ω
Γ kn
( [ L L ][ kL ] [ L P ][ kP ] )
folgt für den Fehler in der Formänderungsenergie:
2
Δ E Fp = Ω
4
–
–
Für n > p gilt:
Daraus folgt:
Prof. Dr. Wandinger
N
∑
n= p +1
2
η2n|H n| Γ 2kn
ηn =Ω/ω n < η p → H n < H p
2
Δ E Fp < Ω η2p|H p|
4
2
N
∑
n= p +1
Γ 2kn
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-71
4.3.6 Modale effektive Massen
–
Mit
N
∑ Γ2kn =m kk
N
→
n=1
08.03.17
p
∑
n= p +1
Γ2kn =m kk −∑ Γ 2kn
n=1
lässt sich die Abschätzung berechnen:
2
p
(
Δ E Fp < Ω η2p|H p| m kk − ∑ Γ2kn
4
n=1
–
2
)
Als Fehlermaß wird der auf die kinetische Energie bezogene Fehler in der Formänderungsenergie verwendet:
p
e Fk
=
Prof. Dr. Wandinger
Fp
(
p
ΔE
2
<η
p |H p| 1− ∑
K
Ek
n=1
2
5. Methode der finiten Elemente
Γ 2kn
m kk
)
Strukturdynamik
5.4-72
08.03.17
4.3.6 Modale effektive Massen
●
Beispiel:
–
Daten:
●
●
●
–
D
F
a
a = 2,5 m
E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3
A = 10-4 m2, Iz = 10-8 m4
C
modale effektive Massen
G
a
y
B
Gesucht:
●
E
H
a
A
O
a
K
a
x
Anschlusspunkte: A, K
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-73
08.03.17
4.3.6 Modale effektive Massen
–
Modale effektive Massen:
Modal effective masses of component "frame"
Coordinates of reference point:
mode
frequency
0.0000,
0.0000
tx
ty
rz
sum tx
sum ty
sum rz
1
2
3
4
5
6
7
0.87
3.02
5.10
5.82
5.89
6.30
13.82
…
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
7.7674e-01
1.1901e-01
6.4845e-25
4.0127e-02
1.6280e-25
2.1898e-28
4.2026e-03
…
5.2357e-27
1.5771e-29
4.6543e-02
3.7831e-25
3.8211e-03
3.2005e-01
1.2623e-28
…
8.3741e-01
1.5984e-04
3.7386e-25
1.9607e-03
5.7105e-29
3.0568e-27
2.6427e-03
…
0.77674
0.89575
0.89575
0.93587
0.93587
0.93587
0.94008
…
0.00000
0.00000
0.04654
0.04654
0.05036
0.37041
0.37041
…
0.83741
0.83757
0.83757
0.83953
0.83953
0.83953
0.84217
…
15
16
17
18
19
20
33.50
34.57
37.00
37.95
53.25
58.03
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
8.7331e-03
1.4281e-28
6.9173e-29
3.3830e-28
8.2870e-04
1.1883e-03
1.9454e-28
5.0738e-02
8.4439e-03
4.9167e-04
9.0383e-31
1.1078e-29
1.5750e-08
3.4692e-28
3.6847e-30
1.4889e-28
4.4284e-03
6.1718e-05
0.96952
0.96952
0.96952
0.96952
0.97034
0.97153
0.37408
0.42482
0.43326
0.43375
0.43375
0.43375
0.86976
0.86976
0.86976
0.86976
0.87419
0.87425
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-74
4.3.6 Modale effektive Massen
–
08.03.17
Eigenschwingungen:
Prof. Dr. Wandinger
5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-75
4.3.6 Modale effektive Massen
–
08.03.17
Auswertung:
●
●
●
Die Eigenschwingungen 1, 2 und 4 werden durch horizontale
Bewegungen der Anschlusspunkte angeregt.
Die Eigenschwingungen 3, 6 und 16 werden durch vertikale
Bewegungen der Anschlusspunkte angeregt.
Die ersten 20 Eigenvektoren reichen aus, um die Antwort auf
eine horizontale Anregung zu berechnen. Sie reichen nicht
aus, um die Antwort auf eine vertikale Anregung zu berechnen.
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5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-76
08.03.17
4.4 Praktische Hinweise
●
Netzfeinheit:
–
●
Die Vernetzung muss in der Lage sein, alle Eigenschwingungen, die für die modalen Reduktion benötigt werden, gut
zu approximieren.
Frequenzraster:
–
Da sich die Übertragungsfunktionen in der Nähe der Resonanzfrequenzen stark ändern, müssen sie in der Nähe der
Resonanz für ausreichend viele Erregerfrequenzen berechnet werden.
–
Dazu sollten in der Halbwertsbreite jeder Resonanzfrequenz 5 bis 9 Erregerfrequenzen vorgegeben werden.
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5. Methode der finiten Elemente
Strukturdynamik
5.4-77
4.4 Praktische Hinweise
08.03.17
–
Werden diese Erregerfrequenzen gleichmäßig über die
Halbwertsbreite verteilt, stellt eine ungerade Anzahl sicher,
dass die Resonanzfrequenz selbst auch als Erregerfrequenz auftritt.
–
Das Verhalten zwischen den einzelnen Halbwertsbreiten
kann durch ein überlagertes gleichmäßiges Raster von Erregerfrequenzen erfasst werden.
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5. Methode der finiten Elemente
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5.4-78
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