4. Spektralanalyse
●
●
●
26.04.16
Die Spektralanalyse ermittelt, welche Beiträge die einzelnen Frequenzen zu einem Signal liefern.
Je nach Art des Zeitsignals wird der Frequenzgehalt durch
die Fourier-Transformation, die Fourier-Reihe oder das
Leistungsdichtespektrum beschrieben.
Mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation lassen sich
in allen drei Fällen Abschätzungen für den Frequenzgehalt aus endlichen Zeitreihen berechnen.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-1
4. Spektralanalyse
26.04.16
4.1 Transiente Signale
4.2 Periodische Signale
4.3 Stochastische Signale
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-2
4.1 Transiente Signale
●
●
26.04.16
Der Frequenzgehalt von transienten Signalen wird durch
ihre Fourier-Transformation beschrieben.
Aufgabenstellung:
–
Gegeben ist die Zeitreihe x n =x (n Δ t ) , n=0,… , N −1, die
durch Abtasten mit der Abtastrate fS aus dem transienten
Signal x(t) gewonnen wurde.
–
Es wird vorausgesetzt, dass die Fourier-Transformation des
Zeitsignals existiert und beim Abtasten die Nyquist-Bedingung fS ≥ 2 fA eingehalten wurde.
–
Mit Hilfe der Zeitreihe soll eine Abschätzung für die FourierTransformation gefunden werden.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-3
4.1 Transiente Signale
●
26.04.16
Abschätzung der Fourier-Transformation:
–
Nach der Rechteckregel wird das Fourier-Integral approximiert durch
N −1
−2 π i f n Δ t
X^ ( f )= ∑ x n e
Δ t , − f A≤ f ≤ f A
n= 0
–
Auswertung für die Frequenzen
k
k
N
N
f k= f S=
, − ≤k≤
N
N Δt
2
2
ergibt:
N −1
−2 π i k n /N
X^ ( f k )=Δ t ∑ x n e
=Δ t X k
n= 0
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-4
4.1 Transiente Signale
26.04.16
–
Wegen X-N/2 = XN/2 ergeben sich nur N verschiedene Werte.
–
Die Indizes 0 ≤ k ≤ N/2 entsprechen den positiven Frequenzen 0 ≤ fk ≤ fA.
–
Für die Frequenzauflösung gilt:
fS
1
1
Δ f = f k +1− f k = =
=
N N Δt T
Die Frequenzauflösung ist umgekehrt proportional zur Anzahl der Messwerte und umgekehrt proportional zur Messdauer T.
–
–
Die Frequenzauflösung lässt sich erhöhen, indem die
Zeitreihe durch Anfügen von Nullen verlängert wird (Zero
padding).
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-5
26.04.16
4.1 Transiente Signale
●
Inverse Transformation:
–
Da das Zeitsignal nach Voraussetzung nur Frequenzen mit
|f| ≤ fA enthält, gilt:
fA
x (t )= ∫ X ( f ) e
2πi f t
df
−fA
–
Approximation nach der Rechteckregel ergibt:
N / 2−1
x^ (t )=
1
2π i k Δ f t
^
X
e
Δ
f
=
∑ k
N Δt
k=−N /2
1
=
N
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N / 2−1
∑
k=−N /2
Xk e
N / 2−1
∑
k=−N /2
Xk Δt e
2πik Δ f t
2πi k Δ f t
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-6
26.04.16
4.1 Transiente Signale
–
Für t = nΔt gilt:
x^ ( n Δ t )=
–
1
N
Δ f t =n / N
N /2−1
∑
k=−N / 2
Xk e
2 π i k n /N
=
1
N
N −1
∑
k =0
Xk e
2 π i k n/ N
= xn
Die Fourier-Reihe
x^ (t )=
1
N
N /2−1
∑
k =−N / 2
Xk e
2 π i k t /T
interpoliert im Zeitbereich 0 ≤ t ≤ T das Messsignal und setzt
sich außerhalb dieses Intervalls periodisch fort.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-7
26.04.16
4.1 Transiente Signale
●
Ergebnisse:
–
Zwischen der diskreten Fourier-Transformation der Zeitreihe und der Fourier-Transformation des Zeitsignals bestehen
folgende Zusammenhänge:
k
1
X^ f S
=Δ t X k , x n =
N
NΔt
( )
–
N −1
∑
k =0
k 2 π i k n/ N
X^ f S
e
N
( )
Für die Berechnung mit GNU/Octave können die Funktionen fft und ifft verwendet werden.
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-8
4.1 Transiente Signale
●
26.04.16
Beispiel:
–
Für den Impuls
{
t
sin π
, 0≤t ≤T
x (t )=
T
0,
t >T
2
( )
soll die Fourier-Transformation mit GNU/Octave berechnet
werden.
–
Dabei soll der Einfluss der Abtastrate untersucht werden.
–
Zahlenwert: T = 1 ms
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-9
4.1 Transiente Signale
–
26.04.16
Octave-Skript:
# Daten
T
n
fA
fS
= 0.001;
=
10;
= 2 / T;
= [2 * fA,
%
%
%
fA]; %
Impulsdauer
Messdauer = n * T
Nyquist-Frequenz
Abtastraten
# Rechnung
for m = 1 : 2
dt = 1 / fS(m);
t = 0 : dt : T;
x = sin(pi * t / T).^2;
N = n * length(t);
N = N + mod(N, 2);
Xd = fft(x, N);
X{m} = dt * Xd(1 : N/2 + 1) / T;
f{m} = T * (0 : N/2) * fS(m) / N;
end
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3. Zeitreihenanalyse
% Impuls
% N gerade
% X/T, k = 0, ..., N/2
% T * f
Strukturdynamik
3.4-10
4.1 Transiente Signale
26.04.16
# Ausgabe
set(0, "defaultlinelinewidth", 2);
figure(1, "position", [100, 100, 800, 400], ...
"paperposition", [0, 0, 24, 13]);
subplot(1, 2, 1);
plot(f{1}, real(X{1}), "color", "green", ...
f{2}, real(X{2}), "color", "red");
legend("f_S = 4 / T", "f_S = 2 / T");
grid;
xlabel("f T"); ylabel("Re(X) / T");
subplot(1, 2, 2);
plot(f{1}, imag(X{1}), "color", "green", ...
f{2}, imag(X{2}), "color", "red");
legend("f_S = 4 / T", "f_S = 2 / T");
grid;
xlabel("f T"); ylabel("Im(X) / T");
print("v3_4_1.jpg", "-djpg", "-FArial:14");
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-11
4.1 Transiente Signale
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
26.04.16
Strukturdynamik
3.4-12
26.04.16
4.2 Periodische Signale
●
●
Der Frequenzgehalt von periodischen Signalen wird durch
die Koeffizienten der Fourier-Reihe beschrieben.
Komplexe Fourier-Reihe:
–
Die reelle Fourier-Reihe eines Zeitsignals der Periode T ist:
∞
x (t )=c 0 + ∑
k=1
–
( (
t
t
c k cos 2 π k + s k sin 2 π k
T
T
)
(
))
Für die trigonometrischen Funktionen gilt:
1
cos ( 2 π k t /T )= ( e 2 π i k t /T + e−2 π i k t /T )
2
1 ( 2 π i k t /T −2 π i k t /T )
sin ( 2 π k t /T ) =
e
−e
2i
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-13
26.04.16
4.2 Periodische Signale
–
Einsetzen ergibt:
1 ∞
2 π i k t /T
−2 π i k t /T
x (t )=c 0 + ∑ [ ( c k −i s k ) e
+ ( c k +i s k ) e
]
2 k=1
–
Mit
C k =c k −i s k , C 0 =2 c 0 , C −k = C̄ k
1 ∞
2 π i k t /T
x
(t
)=
C
e
vereinfacht sich die Reihe zu:
∑
2 k=−∞ k
●
Periodische Zeitreihe:
–
Abtasten einer Periode des Zeitsignals mit dem Zeitschritt
Δt ergibt:
1 ∞
2 π i k n Δ t /T
x n =x ( n Δ t )= ∑ C k e
, n=0,…, N −1
2 k=−∞
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-14
4.2 Periodische Signale
–
26.04.16
Wegen x ( N Δ t )=x ( 0) besteht folgender Zusammenhang
zwischen Periode, Zeitschritt und Anzahl von Messwerten:
T =N Δ t → Δ t /T =1/ N
–
Damit lautet die Zeitreihe:
1 ∞
2πi k n/N
x n= ∑ C k e
, n=0,… , N −1
2 k=−∞
–
2 π i (k + N ) n/ N
2πi kn/N 2 πi n
2 π i k n/ N
=e
e
=e
Wegen e
enthält die unendliche Reihe nur N verschiedene komplexe
Exponentialfunktionen.
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-15
26.04.16
4.2 Periodische Signale
–
Die Zeitreihe lässt sich daher als endliche Summe schreiben:
N / 2−1
1
~
x n = ∑ C k e 2 π i k n/ N , n=0,… , N −1
2 k=−N /2
–
Die größte enthaltene Frequenz ist:
fS
N 1 N 1
1
f max = f N /2 =
=
=
= =fA
2 T 2 N Δt 2Δt 2
–
Wenn die Nyquist-Bedingung erfüllt ist, gilt: ~
C k =C k
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-16
26.04.16
4.2 Periodische Signale
●
Zusammenhang mit der diskreten Fourier-Transformation:
–
Mit den Werten Xk der diskreten Fourier-Transformation der
Zeitreihe gilt:
1
x n=
N
–
N −1
∑
k =0
N / 2−1
∑
k=−N /2
Xk e
2 π i k n/ N
Daraus folgt:
C k =c k −i s k =
–
1
2 π i k n/ N
Xk e
=
N
2
2
2
X k → c k = ℜ(X k ) , s k =− ℑ( X k )
N
N
N
Der Index k ist gleich der Anzahl der Perioden des entsprechenden Beitrags während der Dauer des Signals.
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-17
4.2 Periodische Signale
–
●
26.04.16
Die angegebenen Beziehungen gelten auch dann, wenn die
Länge des Zeitsignals ein ganzzahliges Vielfaches der Periode ist.
Beispiel:
–
Betrachtet wird eine periodische Funktion mit der Periode
T = 0,1 s.
–
Die Koeffizienten der Fourier-Reihe haben die Werte s1 = 2,
c3 = 5, s4 = -1,5, c4 = 2. Alle anderen Koeffizienten sind null.
–
Die zugehörigen Frequenzen sind f1 = 10 Hz, f3 = 30 Hz und
f4 = 40 Hz.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-18
4.2 Periodische Signale
–
26.04.16
Das folgende Skript erzeugt eine Zeitreihe mit zwei Perioden und berechnet daraus die Koeffizienten der FourierReihe:
# Daten
T
f1
f3
f4
nT
=
=
=
=
=
0.1;
10; s1 = 2;
30; c3 = 5;
40; s4 = -1.5; c4 = 2
2;
%
%
%
%
%
Periode
Frequenz 1
Frequenz 2
Frequenz 3
Anzahl Perioden
%
%
%
%
Abtastrate
Zeitschritt
Anzahl Messpunkte
Zeitpunkte
# Zeitreihe
fS =
dt =
N =
t =
pt =
x =
x +=
2.5 * f4;
1 / fS;
nT * T * fS;
(0 : N - 1) * dt;
2 * pi * t;
s1 * sin(f1 * pt) + c3
s4 * sin(f4 * pt) + c4
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* cos(f3 * pt);
* cos(f4 * pt);
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-19
26.04.16
4.2 Periodische Signale
# Fourier-Transformation
C
f
c
s
= 2 * fft(x) / N; C(1)= 0.5 * C(1);
= (0 : N/2) / (nT *T);
= real(C(1 : N/2 + 1));
= -imag(C(1 : N/2 + 1));
# Ausgabe
figure(1, "position", [100, 500, 1000, 800], ...
"paperposition", [0, 0, 25, 14]);
subplot(2, 1, 1);
bar(f, c, "barwidth", 0.2, "edgecolor", "r",...
"facecolor", "r");
grid;
axis("labely");
ylabel("c");
subplot(2, 1, 2, "position", [0.13, 0.17, 0.775,0.34]);
bar(f, s, "barwidth", 0.2, "edgecolor", "g",...
"facecolor", "g");
grid;
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-20
4.2 Periodische Signale
26.04.16
xlabel("f [Hz]");
ylabel("s");
print("v3_4_2.jpg", "-djpg", "-FArial:14");
–
Das Bild auf der folgenden Seite zeigt, dass die Koeffizienten der Fourier-Reihe korrekt identifiziert und ihren Frequenzen zugeordnet werden.
–
Die Methode kann verwendet werden, um die Fourier-Koeffizienten von analytisch gegebenen Funktionen zu ermitteln.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-21
4.2 Periodische Signale
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
26.04.16
Strukturdynamik
3.4-22
4.2 Periodische Signale
●
26.04.16
Gemessene Zeitreihen:
–
Bei gemessenen Zeitreihen ist die Messdauer in der Regel
kein ganzzahliges Vielfaches der Periode.
–
Die Periode ist meist nicht bekannt.
–
In diesem Fall liefert die folgende Methode brauchbare Näherungen für die Amplituden der Koeffizienten der FourierReihe und die zugehörigen Frequenzen:
●
●
Die Zeitreihe wird mit einer Fensterfunktion w(t) gewichtet:
x wn =w n x n
Die diskrete Fourier-Transformation der gewichteten Zeitreihe
liefert die Koeffizienten Xwk .
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-23
26.04.16
4.2 Periodische Signale
●
Daraus werden Näherungen für die Amplituden berechnet:
N −1
1
2
a 0 = |X w 0|, a k = √ c 2k + s 2k = |X wk| mit S = ∑ w n
S
S
n=0
–
Hinweise:
●
●
–
Die Messdauer muss so lang sein, dass sie eine große Anzahl von Perioden enthält.
Für die Phasen ergeben sich keine brauchbaren Näherungen.
Fensterfunktionen:
●
Die Fensterfunktionen müssen die Bedingung
w 0 =w N −1=0
erfüllen.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-24
26.04.16
4.2 Periodische Signale
–
Hanning-Fenster:
●
–
Flattop-Fenster:
Das Hanning-Fenster ist
definiert durch
x (t )=sin 2 (π t /T )
●
–
Es liefert gute Näherungen für die Amplituden
bei gleichzeitig kleiner
Bandbreite und wird daher als Standard verwendet.
●
Das Flattop-Fenster liefert sehr genaue Näherungen für die Amplituden bei einer größeren
Bandbreite.
Daneben gibt es eine
Vielzahl weiterer Fenster.
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3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-25
4.2 Periodische Signale
●
26.04.16
Beispiel:
–
Untersucht wird die Zeitreihe einer periodischen Funktion
mit der Periode T = 0,1 s.
–
Die Koeffizienten der Fourier-Reihe haben die Werte s1 = 2,
c3 = 5, s4 = -1,5, c4 = 2. Alle anderen Koeffizienten sind null.
–
Die zugehörigen Frequenzen sind f1 = 10 Hz, f3 = 30 Hz und
f4 = 40 Hz.
–
Die Messdauer beträgt 20,5T.
–
Das folgende Skript untersucht den Einfluss der Fenster auf
die Näherungen für die Amplituden.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-26
4.2 Periodische Signale
# Daten
T = 0.1;
%
f1 = 10; s1 = 2;
%
f3 = 30; c3 = 5;
%
f4 = 40; s4 = -1.5; c4 = 2; %
nT = 20.5;
%
# Zeitreihe
fS = 3 * f4;
dt = 1 / fS;
TM = nT * T;
N = fix(TM * fS);
t = (0 : N - 1) * dt;
pt = 2 * pi * t;
x = s1 * sin(f1 * pt) + c3
x += s4 * sin(f4 * pt) + c4
%
%
%
%
%
26.04.16
Periode
Frequenz 1
Frequenz 2
Frequenz 3
Anzahl Perioden
Abtastrate
Zeitschritt
Messdauer
Anzahl Messpunkte
Zeitpunkte
* cos(f3 * pt);
* cos(f4 * pt);
# Fourier-Transformation ohne Fenster
C = 2 * fft(x) / N; C(1) = 0.5 * C(1);
a = abs(C(1 : N/2 + 1));
f = (0 : N/2) * fS / N;
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-27
26.04.16
4.2 Periodische Signale
# Fourier-Transformation mit Hanning-Fenster
wh = hanning(N)';
Ch = 2 * fft(wh .* x) / sum(wh); Ch(1) = 0.5 * Ch(1);
ah = abs(Ch(1 : N/2 + 1));
# Fourier-Transformation mit Flattop-Fenster
wf = flattopwin(N)';
Cf = 2 * fft(wf .* x) / sum(wf); Cf(1) = 0.5 * Cf(1);
af = abs(Cf(1 : N/2 + 1));
# Vergleich
figure(1, "position", [100, 500, 1000, 750], ...
"paperposition", [0, 0, 25, 13]);
set(1, "defaultlinelinewidth", 2);
plot(f, a, "color", "red", f, ah, "color", "green", ...
f, af, "color", "blue");
legend("kein Fenster", "Hanning-Fenster", "Flattop-Fenster");
legend("boxoff"); legend("left");
grid;
xlabel("f [Hz]"); ylabel("Amplitude");
print("v3_4_2b.jpg", "-djpg", "-FArial:14");
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-28
4.2 Periodische Signale
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
26.04.16
Strukturdynamik
3.4-29
4.3 Stochastische Signale
●
●
26.04.16
Der Frequenzgehalt von stationären stochastischen Prozessen wird durch das Leistungsdichtespektrum beschrieben.
Das Standardverfahren zur Abschätzung von Leistungsund Kreuzleistungsdichtespektren ist die Methode von
Welch:
–
Ausgangspunkt ist die Gleichung
2
E [ X k ( f ,T ) Ȳ k ( f ,T )] .
T →∞ T
G xy ( f )=lim
–
Anstelle des Grenzübergangs wird eine feste Messdauer Tm
verwendet, die ausreichend lang sein muss.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-30
26.04.16
4.3 Stochastische Signale
–
Der Erwartungswert wird durch einen über die Zeitachse
gebildeten Mittelwert approximiert.
–
Dazu wird die Zeitreihe in M Fenster der gleichen Länge T
unterteilt. Die Fenster dürfen sich überlappen.
–
Für jedes Fenster werden die beiden Zeitreihen mit einer
Fensterfunktion multipliziert. Anschließend wird die endliche
Fourier-Transformation berechnet.
–
Die Schätzung für das Kreuzleistungsdichtespektrum ist:
2
^
G xy ( f k )=
MT
–
M
∑ X^ wm ( f k ,T ) Y¯^ wm ( f k , T ) ,
m=1
f k =k /T
Für Y = X ergibt sich das Leistungsdichtespektrum.
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-31
26.04.16
4.3 Stochastische Signale
–
Das Standard-Verfahren verwendet ein Hanning-Fenster
und eine Überlappung von 50 %.
–
Funktionen in GNU/Octave:
●
Leistungsdichtespektrum:
[Gxx, f] = pwelch(x,window,overlap,[],fs)
●
Kreuzleistungsdichtespektrum:
[Gxy, f] = cpsd(x,y,window,overlap,[],fs)
●
Die Argumente window und overlap können weggelassen
werden:
[Gxx, f] = pwelch(x,[],[],[],fs)
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-32
26.04.16
4.3 Stochastische Signale
–
Argumente:
x, y
window
overlap
fs
Überlappungsfaktor (zwischen 0 und 1)
Abtastrate fS in Hz
Gxx, Gxy
Leistungs- bzw. Kreuzleistungsdichte
spektrum
Frequenzen
f
–
Zeitreihen
Länge NW des Fensters
Für die Frequenzauflösung gilt:
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3. Zeitreihenanalyse
Δ f= f S / N W
Strukturdynamik
3.4-33
26.04.16
4.3 Stochastische Signale
●
Beispiel:
–
Für die am vorderen und hinteren rechten Fahrwerksdom
gemessenen Vertikalbeschleunigungen werden die Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren berechnet.
–
Skript:
set(0, "defaultlinelinewidth", 2);
fname = "../../Daten/Car/az.csv"; % Eingabedatei
lenw
= 1024;
% Fensterlänge
overlap = 0.5;
% Überlappungsfaktor
# Daten einlesen und aufbereiten
data
t
dt
fs
az
=
=
=
=
=
dlmread(fname);
data(:, 1);
mean(diff(t));
1 / dt;
data(:, [3, 4]);
Prof. Dr. Wandinger
%
%
%
%
3. Zeitreihenanalyse
Zeitpunkte
Zeitschritt
Abtastrate
Beschl. vorne / hinten
Strukturdynamik
3.4-34
26.04.16
4.3 Stochastische Signale
# Leistungs - und Kreuzleistungsdichtespektren
[Gvv, f] = pwelch(az(:, 1), lenw, overlap, [], fs);
[Ghh, f] = pwelch(az(:, 2), lenw, overlap, [], fs);
[Ghv, f] = cpsd(az(:, 2), az(:, 1), lenw, overlap, [], fs);
# Kohärenz
ghv = Ghv .* conj(Ghv) ./ (Gvv .* Ghh);
# Ausgabe
figure(1, "position", [1100, 400, 1000, 500], ...
"paperposition", [0, 0, 25, 13.5]);
subplot(1, 2, 1);
loglog(f(2 : end), Gvv(2 : end), "color", "green", ...
f(2 : end), Ghh(2 : end), "color", "red");
legend("G_{vv}", "G_{hh}");
legend("boxoff"); legend("left");
grid;
xlabel("f [Hz]");
ylabel("[m^2/(s^4 Hz)]")
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-35
4.3 Stochastische Signale
26.04.16
subplot(1, 2, 2);
semilogx(f(2: end), ghv(2: end), "color", "blue");
legend('\gamma^2_{hv}');
legend("boxoff"); legend("left");
grid;
xlabel("f [Hz]");
print("v3_4_3.jpg", "-djpg", "-FArial:14");
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
Strukturdynamik
3.4-36
4.3 Stochastische Signale
Prof. Dr. Wandinger
3. Zeitreihenanalyse
26.04.16
Strukturdynamik
3.4-37
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