04.05.2015 Abteilung für Angewandte Mathematik Prof. Dr. M. Růžička, Hannes Eberlein Funktionalanalysis SS 2015 — Woche 3 Abgabe: Montag, den 11. Mai, vor der Vorlesung Aufgabe 1: 7 Punkte Sei Ω eine Lebesgue-messbare, beschränkte Menge mit positivem Maß und sei der metrische Raum (M, d) wie in Blatt 2, Aufgabe 1 gegeben. a) Zeigen Sie, dass die Metrik d nicht durch eine Norm erzeugt wird (d.h. es gibt keine Norm k·k mit kf − gk = d(f, g) für alle f, g ∈ M). b) Zeigen Sie, dass Konvergenz bezüglich der Metrik d äquivalent zur Konvergenz im Maß ist. Erinnerung: fn → f im Maß gdw. ∀δ > 0 gilt n lim λ n→∞ x ∈ Ω |fn (x) − f (x)| ≥ δ o = 0. c) Zeigen Sie, dass (M, d) vollständig ist. Tipp: Zeigen Sie in c), dass die Menge der x ∈ Ω, für die (fn (x))n∈N keine CauchyFolge ist, eine Nullmenge ist. Benutzen Sie dazu Mengen der Form {x ∈ Ω | ∀N ∈ N ∃n, m ≥ N : |fn (x) − fm (x)| ≥ k1 }. Aufgabe 2: 4 Punkte Sei V ein Vektorraum und ρ eine Metrik auf V , die translations- und skalierungsinvariante ist, d.h. ρ(u + w, v + w) = ρ(u, v), ρ(λu, λv) = |λ| ρ(u, v) ∀ u, v ∈ V, ∀ λ ∈ R. Zeigen Sie, dass kuk := ρ(u, 0) eine Norm auf V definiert. Definition: Ein Banachraum X heißt gleichmäßig konvex genau dann, wenn für alle ε > 0 ein k < 1 − δ. δ > 0 existiert so, dass für alle x, y ∈ B1 (0) mit kx − yk > ε folgt k x+y 2 Aufgabe 3: Sei H ein Hilbertraum. Zeigen Sie, dass H gleichmäßig konvex ist. 4 Punkte Aufgabe 4: Sei X ein gleichmäßig konvexer Banachraum. 5 Punkte a) Seien die Folgen (xn )n∈N , (yn )n∈N ⊂ B1 (0) ⊂ X mit kxn k, kyn k → 1 sowie k(xn + ym )/2k → 1 für n, m → ∞ gegeben. Zeigen Sie, dass kxn − ym k → 0 für n, m → ∞ gilt. b) Zeigen Sie die Aussage von a), ohne die Voraussetzung (xn )n∈N ⊂ B1 (0), (yn )n∈N ⊂ B1 (0) zu verwenden.