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© R. Plato
Teil II Analysis 1
Das Majorantenkriterium wird z. B. für die Beweise der
beiden folgenden Sätze verwendet.
Satz 15.9 (Quotientenkriterium). Gegeben seien reelle
Zahlen an .n n0 / mit
a) an > 0;
b)
anC1
an
.n n0 /;
wobei die obere Schranke eine reelle Zahl sei, die
die
P1Bedingung 0 < < 1 erfülle. Dann ist die Reihe
nDn0 an konvergent.
Beweis. Dies folgt leicht aus dem Majorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung der
Notation n0 D 0 an.
Die Bedingung b) bedeutet nämlich anC1 an für
n 0, und vollständige Induktion liefert an n a0 für
n 0. Die Konvergenz der geometrischen Reihe und
das Majorantenkriterium liefern nun die Konvergenz
P1
der Reihe nD0 an .
Beispiel 15.10. Wir testen das Quotientenkriterium an
P1 1
der Reihe
nD1 nŠ . Diese Reihe ist von der Form
P1
1
2
1
anC1
an
mit an D
nŠ
. Hier gilt
D
nŠ
.nC1/Š
D
1
DW für n D 1; 2; : : : . Das Quotientenkriterium ist
nD1 an ,
also erfüllt und diese Reihe deshalb konvergent.
nC1
M
Bemerkung. Man beachte, dass das Quotientenkriterium (ebenso wie das nachfolgende Wurzelkriterium)
nur ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe darstellt. Umgekehrt gibt es nämlich konvergente Reihen, bei denen das Majorantenkriterium verP1
letzt ist. So ist z. B. die Reihe nD1 n12 konvergent (der
Beweis wird hier nicht geführt), das Quotientenkriteri2
a 1
n
um ist jedoch wegen nC
D . nC
/ ! 1 für n ! 1
an
1
sicher nicht erfüllt.
Satz 15.11 (Wurzelkriterium). Gegeben seien reelle
Zahlen an .n n0 / mit
a) an 0;
b)
p
n
an .n n0 /;
wobei die obere Schranke in
die Bedingung 0 < < 1
Pb)
1
erfülle. Dann ist die Reihe nDn0 an konvergent.
Beweis. Dies folgt unmittelbar aus dem Majorantenkriterium. Für den Beweis nehmen wir zur Vereinfachung
der Notation n0 D 0 an.
Die Bedingung b) bedeutet an n für n 0. Die
Konvergenz der geometrischen Reihe und das Majorantenkriterium
liefern nun die Konvergenz der Reihe
P1
nD0 an .
Beispiel.
das Wurzelkriterium an der Reihe
p
P1 1 Wir testen
n
1=nn D n1 12 für n D 2; 3; : : :,
nD2 nn . Es gilt
das Wurzelkriterium ist also erfüllt und die betrachtete
Reihe daher konvergent.
M
Wir stellen
ein Konvergenzkriterium für Reihen
Pnun
1
der Form
.
1/n cn mit cn > 0 vor (die SummannDn0
den haben also wechselndes Vorzeichen).
Definition
P1 15.12 (Alternierende Reihen). Man bezeichnet nDn0 an als alternierende Reihe, falls an .n n0 /
eine Folge reeller Zahlen ist, die die folgenden Eigenschaften besitzt:
die Folge .an / ist alternierend, d. h. für jedes n n0
gilt entweder anC1 < 0 < an oder an < 0 < anC1 ;
es ist .an /nn0 eine Nullfolge, d. h. es gilt an ! 0;
Die Folge der Beträge .jan j/nn0 ist monoton fallend.
P1
. 1 /n
Beispiel 15.13. Es stellt nD1 n eine alternierende
Reihe dar. Man sieht leicht ein, dass die Summanden
. 1 /n
die drei geforderten Eigenschaften aus Definitin
on 15.12 erfüllt.
M
Satz 15.14 (Leibnizkriterium). Jede alternierende Reihe
ist konvergent.
Wird hier nicht geführt.
Bemerkung 15.15. Das Verhalten von endlich vielen,
beliebig ausgewählten Summanden hat keinen Einfluss
auf die Konvergenz einer Reihe (siehe Proposition 15.6
auf Seite 27). Daher genügt es, wenn in Satz 15.8
(Majoranten-/Minorantenkriterium), Satz 15.9 (Quotientenkriterium) beziehungsweise Satz 15.11 (Wurzelkriterium) die jeweils genannten Bedingungen erst für
Indizes n n1 erfüllt sind, mit einem n1 n0 . Das
Gleiche gilt für alternierende Reihen (siehe Definition
15.12 und Satz 15.14).
M
P1
1
Beispiel 15.16. Die Reihe
nD0 nŠ ist konvergent, da
das Quotientienkriterium für n 1 erfüllt ist (siehe
Beispiel 15.10).
M
Aus der vorigen Bemerkung und den Sätzen 15.9 beziehungsweise 15.11 ergibt sich unmittelbar das folgende
Resultat. Es stellt Varianten des 15.9 (Quotientenkriterium) beziehungsweise 15.11 (Wurzelkriterium) ergibt sich unmittelbar das folgende Resultat. Es liefert
Varianten des Quotientenkriteriums beziehungsweise
des Wurzelkriteriums, deren Bedingungen gelegentlich
leichter zu überblicken sind.
© R. Plato
Kapitel 15 Reihen
Satz 15.17.
Für gegebene reelle Zahlen an konvergiert
P1
die Reihe
nDn0 an , falls für ein Zahl 0 < 1 eines
der beiden folgenden Kriterien erfüllt ist:
a)
anC1
an
! für n ! 1;
b)
p
n
an ! für n ! 1;
wobei in a) noch an > 0 ab einem n n1 und in b)
an 0 ab einem n n1 vorausgesetzt wird.
15.5 Absolute Konvergenz von Reihen
Wir stellen nun einen weiteren (und stärkeren) Konvergenzbegriff für Reihen vor. Er ermöglicht bei Reihen in vielen Fällen vereinfachte Konvergenzbetrachtungen. Er erweist sich außerdem z. B. bei der Bildung
des Produktes von Reihen als hilfreich.
P1
Definition 15.18. Eine Reihe nDn0 an mit komplexen
Zahlen an0 ; an0P
C1 ; : : : nennt man absolut konvergent,
1
falls die Reihe nDn0 jan j konvergent ist.
Satz 15.19. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent.
15.6 Cauchy-Produkt von Reihen
Wir stellen nun ein Resultat über das Produkt zweier
absolut konvergenter Reihen vor. Es wird für die Herleitung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
benötigt.
Satz 15.21 (Cauchyprodukt absolut konvergenter
ReiP1
hen). Für zwei absolut konvergente Reihen nD0 an und
P1
nD0 bn gilt
1
X
an
nD0
Die Reihe
Die Umkehrung der Aussage aus Satz 15.19 gilt nicht,
wie das folgende Beispiel zeigt:
n
. 1/
eine alternierende Reihe.
Beispiel. Es ist
nD1
n
und damit konvergent (siehe Definition 15.12, Beispiel
15.13 und Satz 15.14). Diese Reihe ist jedoch nicht absolut konvergent, denn die Beträge
Summanden erP1 der
1
geben die harmonische Reihe
nD1 n , bei der es sich
um eine divergente Reihe handelt (siehe Beispiel 15.5).
P1
M
Summen und skalare Vielfache absolut konvergenter
Reihen sind wieder absolut konvergent:
Satz 15.20 (Regeln für absolut konvergente
P1 Reihen).
Für zwei absolut konvergente Reihen
nDn0 an und
P1
b
und
˛
2
C
konvergieren
auch
die
beiden ReinDn
P0 1n
P1
hen nDn0 .an C bn / und nDn0 ˛an absolut.
Beweis. Das folgt leicht mit Satz 15.7 auf Seite 27 und
dem Majorantenkriterium. Details werden hier nicht
vorgestellt.
nD0
P1
nDn0
bn D
1
X
nD0
cn ; mit cn D
n
X
rD0
ar bn r ;
n 0:
cn ist absolut konvergent.
Der Beweis hierfür entfällt.
Bemerkung. Wir betrachten das Produkt der beiden
Reihen in Satz 15.21 etwas genauer.
a) Es gilt
c0 D a0 b0 ;
c1 D a0 b1 C a1 b0 ;
c2 D a0 b2 C a1 b1 C a2 b0 usw.
in
Beispiel. Es ist die Reihe nD0 nŠ absolut konvergent,
P1 1
denn die Reihe
nD0 nŠ ist konvergent (siehe Beispiel 15.16 auf der vorherigen Seite) und es giltP
j in j D 1
1 in
für n D 0; 1; : : : . Nach Satz 15.19 ist die Reihe nD0 nŠ
damit konvergent.
M
1
X
Der Beweis wird hier nicht geführt.
P1
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b) Allgemein müssen beim Ausmultiplizieren des Produktes
1
X
an
nD0
1
X
nD0
bn
D .a0 C a1 C a2 C /.b0 C b1 C b2 C /
alle Produkte der Form
a0 b0
a1 b0
a2 b0
::
:
a0 b1
a1 b1
a2 b1
::
:
a0 b2
a1 b2
a2 b2
::
:
a0 b3
a1 b3
a2 b3
::
:
gebildet und anschließend in einer gewissen Reihenfolge aufsummiert werden. Beim Cauchyprodukt werden
Zwischensummen aller Terme entlang der in dem Schema angedeuteten Diagonalen gebildet. Diese liefern die
Werte c0 ; c1 ; c2 ; : : : und sind anschließend aufzusummieren. Man beachte noch, dass entlang jeder der gekennzeichneten Diagonalen die Produkte ak bj die Eigenschaft k C j D c mit einer (von der jeweils betrachteten Diagonalen abhängenden) Konstanten c besitzen,
die Summe der beiden Indizes ist dort also konstant.

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