Folgen und Stetigkeit
Folgen und Stetigkeit
Definition 8.11 (Häufungspunkt einer Menge)
4
Sei D ⇢ R. Dann heißt a 2 R Häufungspunkt (kurz: HP“) von D, wenn
”
es eine Folge (an ) in D \ {a} gibt mit an ! a.
Beispiele:
Aufgaben:
Für a < b ist die HP-Menge von [a, b], ]a, b], [a, b[, ]a, b[ stets [a, b].
0 ist HP von R \ {0}. 0 ist kein HP von {0} [ [1, 2].
Sei D ⇢ R und f : D ! R eine Funktion. Sei b 2 R.
Grenzwert für x ! a 2 R
Schreibweisen:
)
lim f (x) = b
x!a
3
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Die Heavisidefunktion hat keinen Grenzwert, aber halbseitige
Grenzwerte für x ! 0 (Zushg.: folgender Satz 8.13).
lim x1 und lim x1 ?
x!0±
Satz 8.13
Ist a HP von D \ ]
1, a[ und von D \ ]a, 1[, so gilt:
,
lim f (x) = b
x!a
f (x) ! b (für x ! a).
Mathematik für Chemiestudierende I
Sei f : R ! R mit f (x) := 1 für x 6= 0 und f (0) := 0. Dann
lim f (x) = 1.
x!±1
f (an ) ! b.
oder
Zeige bzw. untersuche:
x!0
Sei a HP von D.
Dann heißt f konvergent für x gegen a (mit Grenzwert b), wenn für
jede Folge (an ) in D \ {a} gilt:
an ! a
1
2
Definition 8.12 (Grenzwert einer reellen Funktion)
1
Bei den Begri↵en 1–3 gilt: Gibt es keinen Grenzwert b in R, so heißt
f für x gegen a (bzw. a+ oder a ) divergent.
Für b = ±1 spricht man von uneigentlicher Konvergenz.
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)
Schreibweisen:
lim f (x) = b
x!1
Analog auch für x ! 1.
f (an ) ! b.
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WS 2015/2016
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oder
)
Satz 8.14 (Rechenregeln für Grenzwerte)
Seien lim f (x) = b und lim g (x) = c reell, wobei a HP der
x!a
x!a
Definitionsmengen der Funktionen f , g , h oder a = ±1. Dann gilt
1
lim (f (x) ± g (x)) = b ± c,
x!a
f (x) ! b (für x ! 1).
Halbseitige Grenzwerte
Sei a HP von D \ ] 1, a[.
Dann heißt f linksseitig konvergent für x gegen a (mit Grenzwert b),
wenn für jede Folge (an ) in D \ ] 1, a[ gilt:
an ! a
lim f (x) = b.
x!a+
Folgen und Stetigkeit
Grenzwert für x ! ±1
Sei D nicht nach oben beschränkt,
d.h. zu jedem m 2 R existiert ein x 2 D mit x > m.
Dann heißt f konvergent für x gegen 1 (mit Grenzwert b), wenn für
jede Folge (an ) in D gilt:
an ! 1
und
Beweis: o.D.
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Folgen und Stetigkeit
2
lim f (x) = b
x!a
f (an ) ! b.
2
lim (f (x) · g (x)) = bc
(insb. lim ( · g (x)) =
x!a
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4
5
falls c 6= 0:
f g
)
x!a
f (x)
b
= ,
g (x)
c
b c,
· lim g (x)),
x!a
lim
x!a
f h g und b = c
)
lim h(x) ex. und lim h(x) = b = c.
x!a
x!a
Die Regeln gelten bei Beachtung der Bemerkung 2) nach 8.9 auch bei
uneigentlicher Konvergenz und/oder halbseitigen Grenzwerten.
Schreibweisen: lim f (x) = b (linksseitiger Grenzwert)
x!a
Analog definiert man für HPe a von D \ ]a, 1[ den rechtsseitigen
Grenzwert lim+ f (x) = b.
Beweis: Folge des entsprechenden Satzes für Folgen.
x!a
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Mathematik für Chemiestudierende I
WS 2015/2016
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