Prof. Benjamin Lindner Institut für Physik Hausaufgaben zur VL Mathematische Grundlagen (P0) WS 2015/16 Abgabe: 24.11.2015 nach der Vorlesung Blatt 6 Aufgabe 1: Uneigentliches Integral Gegeben sei eine axialsymmetrische Vase (x-Achse ist Symmetrieachse, siehe Abb.). Die Tiefe der Figur soll sich von x = 1 bis in das Unendliche erstrecken, wobei der Radius wie r(x) = 1/x abnimmt. Wir wollen das Volumen und die Oberfläche dieser Vase berechnen, um abschätzen zu können, wieviel Wasser und wieviel Farbe man brauchte, um sie zu füllen bzw. zu bestreichen. Anders formuliert würden wir gern wissen, ob sich das Füllen und/oder Bestreichen bei einer Vase unendlicher Tiefe wirklich empfiehlt. a) Um das Volumen zu berechnen gehen Sie von einer Summation von Kreisscheiben von Radius r(x) und der infinitesimalen Dicke dx aus. Zeigen Sie, dass diese Summe im Grenzfall unendlich dünner Scheiben auf das folgende Integral führt Z ∞ V =π dx r2 (x). 1 b) Um die Oberfläche der Vase zu berechnen, zerlegen wir sie (gedanklich!) in viele Kegelstümpfe infinitesimaler Höhe dx. Die Oberfläche entspricht dann der Summe der Mantelflächen dieser dünnen Kegelstümpfe. Zeigen Sie, dass dies dem Integral s !2 Z ∞ dr(x) r(x) A = 2π dx 1 + dx 1 entspricht. Überprüfen Sie auch, ob die Verwendung von infinitesimalen Kegelstümpfen statt Kreisscheiben die Berechnung des Volumens in a) ändern würde. c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral für das Volumen und versuchen Sie sich an einer einfachen Abschätzung des Integrals für die Fläche. Können Sie das Ergebnis erklären? 1 r(x) x=1 x Aufgabe 2: Parameterintegral a) Leiten Sie die Formel für die Ableitung eines Parameterintegrals (Leibnizregel) d dx Z b(x) a(x) f (x, u)du = Z b(x) a(x) ∂ f (x, u) d d du + f (b(x), x) b(x) − f (a(x), x) a(x). ∂x dx dx her unter Benutzung der Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten und des Mittelwertsatzes der Integralrechnung. b) Berechnen Sie die (parametrische) Ableitung nach x von Z x 1 + ux g(x) = du u 1 auf zwei Weisen: i) Leibnizregel für Parameterintegrale benutzen, ii) erst Integral berechnen, dann ableiten. Aufgabe 3: Differentialgleichungen a) Der Zuwachs in einer Bakterienkolonie sei proportional zur Anzahl der Bakterien N(t). Stellen Sie eine Differentialgleichung für die (als kontinuierlich angenommene) Anzahl der Bakterien auf und lösen Sie sie mit einem exponentiellen Ansatz. Worin liegen die Limitationen dieses Models? b) Eine Kugel der Masse m falle in Sirup unter Einwirkung der Schwerkraft F = −mg und der Stokeschen Reibungskraft Freib = −γvz . Zum Zeitpunkt Null sei die Kugel bei z = 0 und habe eine Geschwindigkeit vz (0) = 0. Stellen Sie die Differentialgleichung für die Geschwindigkeit v(t) der Kugel auf und lösen Sie sie unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen. c) Zeigen Sie für das Problem aus der vorigen Aufgabe 3b, dass sich die Kugel zur Zeit t in der Höhe (oder besser: Tiefe) γ γ m2 g −mt z(t) = 2 1 − t − e m γ befindet. Entwickeln Sie z(t) bis zur zweiten Ordnung in t um t = 0 und diskutieren Sie das physikalische Verhalten bei kurzen Zeiten t m/γ. Untersuchen Sie dann das asymptotische Verhalten der Geschwindigkeit vz (t) für lange Zeiten t m/γ. 2