Blatt 09 - Fachbereich Mathematik

Fachbereich
Mathematik
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik I für Studierende der Physik:
Blatt 9 zur (Einzel-)Abgabe am 06.01.2016 (in den Übungen).
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben.
Aufgabe 1: (0,5+1+1,5+2 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass sinh0 = cosh und cosh0 = sinh gilt.
(b) Berechnen Sie die Ableitung von
arcosh := (cosh [0,∞) )−1
in (1, ∞)
(arcosh ist die Umkehrfunktion von cosh (vgl. Blatt 8, Aufgabe 2)).
(c) Beweisen Sie die Leibnizregel : Sind f und g n-fach differenzierbare Funktionen, so
gilt:
n X
n (k) (n−k)
(n)
(f g) =
f g
.
k
k=0
x−1
Hinweis: Sie dürfen die Gleichung k−1 + x−1
= xk , x ∈ R, k ∈ N, aus Aufgabe
k
4 von Blatt 2 benutzen.
(d) Berechnen Sie damit die 2016-te Ableitung der Funktion (x3 − x2 ) sinh(x).
Aufgabe 2: (2+2 Punkte)
(a) Sei f : R → R, f (x) = ( 21 x2 − 23 x + 34 )e2x . Bestimmen Sie die lokalen Extrema (und
deren Art).
(b) Sei f : R → R, f (x) = − cos x2x+1 + 1 . Bestimmen Sie die lokalen Extrema (und
deren Art).
Aufgabe 3: (1+2 Punkte)
(a) Sei a ∈ R , a > 0 . Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f : (0, ∞) → R,
x
x 7→ a(x ) .
(b) Untersuchen Sie die Funktion
f : (0, ∞) −→ R ,
f (x) := x−a ex
für a ∈ R hinsichtlich Monotonie, Extrema und Konvexität.
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Aufgabe 4: (1,5+2,5 Punkte)
(a) Sei f : R −→ R, f (x) := x5 − 3x4 + 5x2 + 2x − 7. Berechnen Sie die Taylorreihe von
f im Punkt 1. Für welche x ∈ R konvergiert diese Taylorreihe gegen f (x)?
(
exp(− x12 ) x 6= 0
(b) Sei g : R −→ R, g(x) :=
0
x=0
Zeigen Sie: g ist in 0 beliebig oft differenzierbar mit
g (n) (0) = 0 für alle n ∈ N,
und damit, dass die Taylorreihe von g im Punkt 0 nur in 0 gegen g(x) konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass es für alle
n ∈ N Polynomfunktionen hn (y) vom Grad 3n gibt, so dass
1
1
(n)
g (x) = hn
· exp − 2
für x 6= 0 ist.
x
x
Verwenden Sie anschließend erneut vollständige Induktion, um die Behauptung zu
zeigen.
2

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