Lösung - Mathematik

Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten
— Lösung Blatt 7 —
Aufgabe 1
zu (a)
Wir wenden die Produktregel auf u(x) = x2 , v(x) = exp(x) an und erhalten
f 0 (x)
=
zu (b)
Zunächst berechnen wir die Ableitung von u(x) = (x + 2)(x2 + 3x + 5), durch Anwendung der
(uv)0 (x)
u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x)
=
=
2x exp(x) + x2 exp(x)
=
(x2 + 2x) exp(x).
Produktregel auf v(x) = x + 2 und w(x) = x2 + 3x + 5. Es gilt v 0 (x) = 1, w0 (x) = 2x + 3 und somit
u0 (x)
(vw)0 (x)
=
v 0 (x)w(x) + v(x)w0 (x)
=
=
(x2 + 3x + 5) + (2x2 + 4x + 3x + 6)
=
1 · (x2 + 3x + 5) + (x + 2)(2x + 3)
=
3x2 + 10x + 11.
Nun wenden wir die Kettenregel auf die Funktionen exp und u an. Wir erhalten
g 0 (x)
=
(exp ◦u)0 (x)
exp0 (u(x))u0 (x)
=
=
exp((x + 2)(x2 + 3x + 5))(3x2 + 10x + 11).
zu (c) Zunächst bestimmen wir die Ableitung von u(x) = (x−7)6 mit Hilfe der Kettenregel, angewendet
auf v(x) = x − 7 und w(x) = x6 . Es gilt v 0 (x) = 1, w0 (x) = 6x5 und somit
u0 (x)
(w ◦ v)0 (x)
=
=
w0 (v(x))v 0 (x)
=
6(x − 7)5 · 1
=
6(x − 7)5 .
Im nächsten Schritt bestimmen wir die Ableitung von k(x) = (x + 5)(x − 7)6 mit Hilfe der Produktregel,
angewendet auf `(x) = x + 5 und u. Wegen `0 (x) = 1 erhalten wir
k 0 (x)
=
(`u)0 (x)
=
`0 (x)u(x) + `(x)u0 (x)
=
1 · (x − 7)6 + (x + 5) · 6(x − 7)5
((x − 7) + 6(x + 5))(x − 7)5
=
(7x + 23)(x − 7)5 .
=
Nun bestimmen wir die Ableitung von h durch Anwendung der Quotientenregel auf k und m(x) = x2 +1.
Es gilt m0 (x) = 2x und
0
k
0
(x)
h (x) =
m
=
=
=
=
k 0 (x)m(x) − k(x)m0 (x)
m(x)2
=
(7x + 23)(x − 7)5 (x2 + 1) − (x + 5)(x − 7)6 · 2x
(x2 + 1)2
(x − 7)5 ((7x + 23)(x2 + 1) − 2x(x + 5)(x − 7))
(x2 + 1)2
(x − 7)5 (7x3 + 23x2 + 7x + 23 − 2x(x2 + 5x − 7x − 35))
(x2 + 1)2
(x − 7)5 (7x3 + 23x2 + 7x + 23 − 2x3 + 4x2 + 70x)
(x2 + 1)2
=
(x − 7)5 (5x3 + 27x2 + 77x + 23)
(x2 + 1)2
Aufgabe 2
Die Ableitung der Sinusfunktion erhält man durch
!0
∞
∞
2n+1
X
∂ X
(2n + 1)x2n
0
n x
(−1)
=
sin (x) =
(−1)n
∂x n=0
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n=0
Die Ableitung der Kosinusfunktion ergibt sich aus der Rechnung
!
∞
∞
2n
X
X
x
(2n)x2n−1
∂
n
0
(−1)
=
(−1)n
cos (x) =
∂x n=0
(2n)!
(2n)!
n=0
∞
X
(−1)n+1
n=0
x2(n+1)−1
(2(n + 1) − 1)!
−
=
∞
X
(−1)n
n=0
∞
X
=
(−1)n
n=0
=
∞
X
(−1)n
n=1
x2n+1
(2n + 1)!
=
x2n
(2n)!
x2n−1
(2n − 1)!
=
cos(x).
=
− sin(x).
Aufgabe 3
Wegen
1
n
> 0 gilt jeweils f ( n1 ) =
1
n
für alle n ∈ N. Daraus folgt
f ( n1 ) − f (0)
1
n→∞
n −0
lim
=
1
n
n→∞ 1
n
lim
−0
−0
=
lim 1
n→∞
=
1.
Aus − n1 ≤ 0 folgt andererseits f (− n1 ) = 0 für alle n ∈ N und somit
f (− n1 ) − f (0)
n→∞
(− n1 ) − 0
lim
=
lim
n→∞
0−0
(− n1 ) − 0
=
lim 0
n→∞
=
0.
Wäre f an der Stelle 0 differenzierbar mit Ableitung f 0 (0) = c, dann müsste
lim
n→∞
f (xn ) − f (0)
xn − 0
=
c
für jede Folge (xn )n∈N mit Grenzwert 0 gelten. Wir haben aber für zwei verschiedene Folgen die Grenzwerte 1 und 0 herausbekommen, und 1 = c = 0 ist unmöglich.

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