Karlheinz Gröchenig Peter Elbau Partielle Differentialgleichungen Fakultät für Mathematik Universität Wien 15. April 2016 Übungsblatt 4 1. Sei u ∈ C 2 ([0, π] × [0, ∞)) eine Lösung des Randwertproblems ∂t u(x, t) = ∂xx u(x, t), u(x, 0) = f (x), u(0, t) = a, u(π, t) = b, x ∈ (0, π), t > 0, x ∈ (0, π), t > 0, t > 0, für eine gegebene Funktion f ∈ C 2 ([0, π]) mit f (0) = a und f (π) = b und gegebene Parameter a, b ∈ R. Bestimmen Sie den Grenzwert limt→∞ u(x, t) für x ∈ [0, π]. 2. Sei u ∈ C 2 ([0, π] × [0, ∞)) eine Lösung des Randwertproblems ∂t u(x, t) = ∂xx u(x, t), u(x, 0) = f (x), ∂x u(0, t) = a, ∂x u(π, t) = b, x ∈ (0, π), t > 0, x ∈ (0, π), t > 0, t > 0, für eine gegebene Funktion f ∈ C 2 ([0, π]) mit f 0 (0) = a und f 0 (π) = b und gegebene Parameter a, b ∈ R. (a) Bestimmen Sie im Fall a = b den Grenzwert limt→∞ u(x, t) für x ∈ [0, π]. (b) Wie verhält sich die Lösung für a 6= b im Grenzwert t → ∞? 3. Sei f eine periodische Funktion mit Periode 2π und `-mal stetig differenzierbar auf R. Zeigen Sie, daß die Fourierkoeffizienten wie 1 ˆ |f (n)| = O |n|` abklingen. [Erinnerung: das heißt, daß |n|` fˆ(n) beschränkt ist.] 4. Seien f, g stetige, 2π-periodische Funktionen. Zeigen Sie, daß der n-te Fourierkoeffizient von f ∗ g gegeben ist durch f[ ∗ g(n) = fˆ(n)ĝ(n), n ∈ Z. [Bemerkung: Wer Maßtheorie gut kennt, kann die Formel unter der Voraussetzung f, g ∈ L1 (−π, π) beweisen.] 1 5. Sei Pr (x) = P∞ k=−∞ r|k| eikx für x ∈ [0, 2π] und 0 ≤ r < 1. (a) Zeigen Sie, daß Pr (x) = 1−r2 1−2r cos x+r2 ist. (b) Sei (rn )n∈N ⊆ [0, 1) eine beliebige Folge, sodaß limn→∞ rn = 1 und setze Kn = Prn . Zeigen Sie, daß (Kn )n∈N eine approximierende Einheit ist (man sagt, daß {Pr : 0 ≤ r < 1} eine approximierende Einheit bildet, wenn r → 1−). (c) Zeigen Sie mit Aufgabe 4, daß fürPeine stetig differenzierbare, 2π-periodische ikx Funktion f von der Form f (x) = ∞ gilt, daß k=−∞ ck e (f ∗ Pr )(x) = ∞ X k=−∞ —– 2 ck r|k| eikx .