Musterlösung zu Blatt 7
Höhere Mathematik I (P/MP/ET/IT/I-I)
Wintersemester 2015/16
25 a) f1 ist nicht linear, denn es gilt:
(−1) · f1 (0, 1) = (0, −1) 6= (0, 1) = f1 (0, −1)
b) f2 ist linear, denn für (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 und λ ∈ R gilt:
f2 (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = (y1 + y2 − (x1 + x2 ), 0, x1 + x2 − (y1 + y2 ))
= (y1 − x1 , 0, x1 − y1 ) + (y2 − x2 , 0, x2 − y2 )
= f2 (x1 , y1 , z1 ) + f2 (x2 , y2 , z2 )
und
f2 (λ(x1 , y1 , z1 )) = (λy1 −λx1 , 0, λx1 −λy1 ) = λ(y1 −x1 , 0, x1 −y1 ) = λf2 (x1 , y1 , z1 )
c) f3 ist nicht linear, denn es gilt:
f3 ((1, 0, 0) + (0, 1, 0)) = f3 (1, 1, 0) =
√
3
2 6= 2 = f3 (1, 0, 0) + f3 (0, 1, 0)
d) f4 ist nicht linear, denn es gilt:
(−1) · f4 (1, 0) = (−1, −1, 0, −1) 6= (−1, −1, 0, 1) = f4 (−1, 0)
26 a) U1 ist ein Unterraum, denn für (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ U1 gilt
(x1 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) = (x1 + 2x2 ) + (y1 + 2y2 ) = 0 + 0 = 0 ,
also (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) ∈ U1 , und
(λx1 ) + 2(λx2 ) = λ(x1 + 2x2 ) = λ · 0 = 0 ,
also λ(x1 , x2 ) ∈ U1 .
b) U2 ist kein Unterraum, da (0, 0) ∈
/ U2 .
c) U3 ist kein Unterraum, denn es ist (1, 0) ∈ U3 und (0, 1) ∈ U3 , aber (1, 0) + (0, 1) =
(1, 1) ∈
/ U3 .
d) U4 ist kein Unterraum, denn es ist (1, 0) ∈ U4 , aber (−1) · (1, 0) = (−1, 0) ∈
/ U4 .
27 a) Vertauschen der beiden Gleichungen ergibt das Gleichungssystem in der Notation
11.12:
1 −5 0 ·(−2) ↓
2
1 0
←
1 −5 0
0 11 0
Die zweite Gleichung liefert x2 = 0 und Einsetzen in die erste ergibt dann x1 = 0.
Also ist der Nullvektor einzige Lösung des Gleichungssystems.
1
b) Elementare Zeilenumformungen ergeben:
2
5
4 −6 0
3 −1 0
1
5
2 −3 0 ·(−5) ↓
3 −1 0
←
:2
1
2 −3 0
0 −7 14 0
Somit ist x3 frei wählbar. Mit u = (−1, 2, 1)T lässt sich die Lösungsmenge des
Gleichungssystems darstellen als {λu | λ ∈ R}.
28 Vertauschen von erster und dritter Gleichung ergibt:
1 0 1 2 0 4 ·(−1) ↓ ·(−2) ↓
1 1 1 4 1 6
←
↓
2 3 4 12 5 20
←
1 0 1
0 1 0
0 3 2
2 0 4
2 1 2 ·(−3) ↓
8 5 12
←
1 0 1
0 1 0
0 0 2
2 0
2 1
2 2
4
2
6
Somit sind x4 , x5 frei wählbar. Mit u = (−1, −2, −1, 1, 0)T und v = (1, −1, −1, 0, 1)T
lässt sich die Lösung des homogenen Systems darstellen als {λu + µv | λ, µ ∈ R}.
Eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems ist gegeben durch s = (1, 2, 3, 0, 0)T .
Damit ergibt sich als allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems s + {λu + µv | λ, µ ∈ R}.
sawo
2
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