Uneigentliche Integrale

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11. Uneigentliche Integrale
Es geht um eine Erweiterung des Integralbegriffs. Unter gewissen Voraussetzungen können
als Integrationsgrenzen auch ∞ oder eine Polstelle zugelassen werden. Man spricht in diesem
Fall von uneigentlichen Integralen.
∞
Uneigentliche Integrale vom Typ
∫ f ( x ) dx
a
Aufgabe:
Berechne den Inhalt A(u) der Fläche, die
von der Kurve
3
y = f ( x) = 2 , der x-Achse und den
x
Geraden x = 1 und x = u (u > 1) begrenzt
wird.
Untersuche den Grenzwert von A(u)
für u gegen ∞.
u
u
1
3
3
3
3
A(u ) = ∫ 2 dx = −
=
=3−
x1 xu
u
1 x
Der Grenzwert für u gegen unendlich
existiert in diesem Fall und deshalb
schreibt man:
∞
3
A(u) = 3
∫1 x 2 dx = ulim
→∞
Anschaulich bedeutet dies, dass das ins Unendliche reichende Flächenstück den Inhalt 3 hat.
Dreht man die Fläche um die x-Achse, so entsteht ein Körper mit dem Volumen V(u)
u
u
1
9
1 

 1 
 1 
V (u ) = π ∫ 4 dx = 9π ⋅  − 3  = 9π ⋅  3  = 3π ⋅ 1 − 3 
 u 
 3x  u
 3x  1
1 x
Da auch in diesem Fall der Grenzwert für u gegen ∞ existiert, schreibt man
∞
9
π ⋅ ∫ 4 dx = lim V (u ) = 3π
u →∞
1 x
Ersetzt man die Funktion f ( x ) =
3
1
durch f ( x ) = , so erhält man für A(u) = ln u und
2
x
x
 1
V ( u) = π  1 − 
 u
Der Grenzwert von A(u) für u gegen ∞ hat keinen endlichen Wert, das uneigentliche Integral
ist divergent. Der Grenzwert von V(u) hingegen ist π, das uneigentliche Integral ist
konvergent.
Das paradox erscheinende Ergebnis bedeutet anschaulich, dass eine Fläche mit unendlich
grossem Inhalt einen Körper mit endlichem Volumen erzeugt.
uneig_int (2)
14.11.11/ul
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Die Beispiele illustrieren das allgemeine Vorgehen:
Zunächst wird über das endliche Intervall [a,u] integriert. Der Wert des Integrals hängt noch
von u ab. Existiert der Grenzwert für u gegen unendlich so legt man fest:
∞
u
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx
u →∞
a
a
Die eine Integralgrenze ist eine Polstelle
In der folgenden Aufgabe hat die gegebene Funktion an einer der Intervallgrenzen eine
Polstelle:
Aufgabe:
Berechne den Inhalt A(u) der von der
Kurve
1
y = f ( x) =
x <1 ,
1− x
von den Koordinatenachsen und
der Geraden x = u (u < 1) begrenzten
Fläche.
u
(
) (
)
dx
= −2 1 − x u0 = 2 1 − x u0 = 2 − 2 1 − u
1− x
0
Da der Grenzwert u wachsend gegen 1 existiert, definiert man:
1
dx
A(u ) = 2
∫0 1 − x = lim
u ↑1
A(u) =
∫
Dreht man die Fläche mit dem Inhalt A(u) um die x-Achse so entsteht ein Rotationskörper mit
dem Inhalt
u
dx
V (u ) = π ∫
= π (− ln 1 − x ) u0 = π (ln 1 − x ) u0 = −π ⋅ ln 1 − u
1− x
0
Strebt u wachsend gegen 1, so strebt V(u) gegen ∞. Das uneigentliche Integral existiert in
diesem Fall nicht. Anschaulich bedeutet dies: Obwohl die erzeugende Fläche einen endlichen
Inhalt hat, erzeugt sie kein endliches Volumen.
uneig_int (2)
14.11.11/ul

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