大学入試問題の背景にある数学第2回向井崇人 (ア) ガロア理論(2012 京都大学 4) ４ (1) が無理数であることを証明せよ。 (2) は有理数を係数とするの多項式ではを満たしているとする。このときで割り切れることを証明せよ。（略解） (1) 背理法より 3 2 が有理数であるとする。すなわち 3 2  q  p, q  Z   p, q   1 とする。 p 2 p  q　　2 p3  q3 3 q  Z  とおくことができる。これを代入して整理すると、ゆえに、 q  2q p 3  4q3 したがって、 p  2 p  p  Z  となるが、これは  p, q  1に矛盾する。よって、 3 2 は無理数である。 □ (2) 背理法より、 P(x) は x  2 で割り切れないと仮定する。 3   P( x)  x 3  2 Q( x)  ax 2  bx  c, (a, b, c  Q) ・・・☆ a,b,c の少なくとも一つは 0 でない。 x  3 2   とおく。 (ⅰ) a  0 のとき、 b  c  0 で無理数と有理数の和となり、係数は 0 でないので不適。 (ⅱ) a  0 のとき、 a  b  c  0 ・・・①の両辺にαをかけると、 2a  b  c  0 ・・・②となる。ここで、 2 2 ①× b －②× a ： b  ac  bc  2a 2  0 となり、無理数と有理数の和であるので、 b  ac  0 かつ bc  2a 2  0 a  0 のとき、 b  0 で①より c  0 となるので不適 b2 a  0 のとき、 c  で後式に代入して整理すると、 a 3 b b  3 2    2　a a となり、(1)より矛盾である。よって、 P(x) は x 3  2 で割り切れることが示せた。 □ 【解説】本問が出題された 2012 年はガロア生誕 200 年の年であった。京都大学がこのことを意識したかは不明だが、背景はガロア理論の最小多項式であると思われる。この問題の背景には分母の有理化が深く関わっている。中学校から習う分母の有理化は平方根のみの実数を扱っている。しかし、一般には分母に冪根が含まれている実数も有理化の対象にあると考えることは自然な発想である。冪根の有理化については高校数学では扱わないが、そういった考え方があることを生徒に紹介することで、生徒の視点を広げることができるのではないだろうか。このことを通じて、「対象を一般化する」という意識を育んでいきたい。参考までに冪根の有理化について、概要を述べる。 ◆ユークリッドの互除法と分母の有理化定義約多項式多項式 f ( x), g ( x), ( x) において、 f ( x) ( x)  g ( x) となるとき f (x) が g (x) の約多項式という。補題ユークリッドの互除法のキーレンマ f ( x)  g ( x) q ( x)  r ( x) dim r ( x)  dim g ( x) ⇔  f ( x), g ( x)  g ( x), r( x) 命題拡張ユークリッドの互除法 GCD f ( x), g ( x)  h( x) とするとき、次の式を満たす多項式  ( x), ( x) が存在する。・・・(☆) h( x)  f ( x) ( x)  g ( x) ( x) 例具体的な多項式にして考えて見る。 f ( x)  x 3  2, g ( x)  x 2  x  1 について、 GCD f ( x), g ( x)  h( x) を求め、(☆)が成り立つような  ( x), ( x) を見つける。 x 3 x 2     2  x 2  x  1  x  1 2 x  3   x  1  2 x  3  1 5 11 x  2 4 4 2 x  3  11  8 x  12 0 4 11 11  h( x )  命題より、 11 4   11 5 5 1 1  x 2  x  1  2 x  3 x    g ( x)   f ( x)  g ( x)  x   4 4 4 2 2 5 3 1  1 1  f ( x)  x    g ( x) x 2  x   4 4 11   2 2 5 3 1  2 2 1  f ( x)  x    g ( x) x 2  x   11  11 11   11  11 この計算は分母の有理化とみなすことが出来る。 x  3 2 を上式に代入して、 5 3 1  2 2 1  f (3 2 )  3 2    g (3 2 ) 3 4  3 2   11  11 11   11  11 1  1 3 2  3 4  1  33 2  23 4 11 1 1    1  33 2  23 4 3 3  1  2  4 11       □ 一般に   を有理化するとしても、 f ( x)  (x   ) gxとして、 GCD f ( x), gx  h( x) から同様にして 1 g  n (☆)を得て、有理化をすることができる。すなわち、一般の冪根においても有理化が出来ることが示せた。