解答例＋引用題

2015 神戸大学（理系）前期日程
１
問題
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座標平面上の 2 つの曲線 y = x - 3 , y = 1 ( x -1)( x - 3 ) をそれぞれ C1 , C2 とする。
4
x -4
以下の問いに答えよ。
(1) 2 曲線 C1 , C2 の交点をすべて求めよ。
(2) 2 曲線 C1 , C2 の概形をかき, C1 と C2 で囲まれた図形の面積を求めよ。
－1－
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２
問題
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2
座標平面上の楕円 x + y2 = 1 を C とする。 a > 2 , 0 <  <  とし, x 軸上の点
4
A ( a, 0 ) と楕円 C 上の点 P( 2cos , sin  ) をとる。原点を O とし, 直線 AP と y 軸と
の交点を Q とする。点 Q を通り x 軸に平行な直線と, 直線 OP との交点を R とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 点 R の座標を求めよ。
(2) (1)で求めた点 R の y 座標を f (  ) とする。このとき, 0 <  <  における f (  ) の
最大値を求めよ。
(3) 原点 O と点 R の距離の 2 乗を g (  ) とする。このとき, 0 <  <  における g (  )
の最小値を求めよ。
－2－
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３
問題
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4
a を正の実数とする。座標平面上の曲線 C を, y = x - 2( a + 1) x 3 + 3ax 2 で定める。
曲線 C が 2 つの変曲点 P, Q をもち, それらの x 座標の差が 2 であるとする。以下
の問いに答えよ。
(1) a の値を求めよ。
(2) 線分 PQ の中点と x 座標が一致するような, C 上の点を R とする。三角形 PQR
の面積を求めよ。
(3) 曲線 C 上の点 P における接線が P 以外で C と交わる点を P ¢ とし, 点 Q におけ
る接線が Q 以外で C と交わる点を Q¢ とする。線分 P ¢Q¢ の中点の x 座標を求めよ。
－3－
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４
問題
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a, b を実数とし, 自然数 k に対して x k =
2ak + 6b
とする。以下の問いに答
k ( k + 1)( k + 3 )
えよ。
(1)
xk =
p
q
+
+ r がすべての自然数 k について成り立つような実数 p, q, r
k k +1 k + 3
を, a, b を用いて表せ。
n
(2) b = 0 のとき, 3 以上の自然数 n に対して å x k を求めよ。また, a = 0 のとき, 4
k=1
n
以上の自然数 n に対して å x k を求めよ。
k=1
¥
(3) 無限級数 å x k の和を求めよ。
k=1
－4－
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５
問題
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a, b, c を 1 以上 7 以下の自然数とする。次の条件(＊)を考える。
(＊) 3 辺の長さが a, b, c である三角形と, 3 辺の長さが 1 , 1 , 1 である三角形
a b c
が両方とも存在する。
以下の問いに答えよ。
(1) a = b > c であり, かつ条件(＊)を満たす a, b, c の組の個数を求めよ。
(2) a > b > c であり, かつ条件(＊)を満たす a, b, c の組の個数を求めよ。
(3) 条件(＊)を満たす a, b, c の組の個数を求めよ。
－5－
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１
解答解説
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(1) C1 : y = x - 3 ……①, C2 : y = 1 ( x -1)( x - 3 ) ……②を連立すると,
4
x -4
x - 3 = 1 ( x -1)( x - 3 ) , 4( x - 3 ) = ( x -1)( x - 3 )( x - 4 )
x -4 4
これより, ( x - 3 ) x ( x - 5 ) = 0 となり, x = 0, 3, 5
すると, ①より, C1 , C2 の交点の座標は, ( 0, 3 ) , ( 3, 0 ) , ( 5, 2 ) である。
4
2
1
1
1
y
, ②より y = ( x - 2 ) - と
(2) ①より y = 1 +
C1
x -4
4
4
C2
なり, C1 , C2 の概形は右図のようになる。
C1 と C2 で囲まれた図形の面積を S とすると,
S=
ò
0
3
2
{ 1 + x -1 4 - 14 ( x - 2 )2 + 14 } dx
3
= éëê 5 x + log x - 4 - 1 ( x - 2 )3 ùûú
0
4
12
= 15 - log 4 - 1 (1 + 8 ) = 3 - 2log 2
4
12
3
4
1
O1
3
4 5
x
C1
［解説］
微積分の基本問題です。複雑な計算もありません。
－1－
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２
解答解説
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y
(1) A ( a, 0 ) , P( 2cos , sin  ) に対し, 直線 AP の式は,
y = sin  ( x - a )
2cos  - a
- a sin 
これより, Q ( 0,
) となり, Q を通り x 軸 -2
2cos - a
- a sin 
に平行な直線は, y =
……①となる。
2cos - a
Q
R
1
P
A
2 a x
O
-1
また, 直線 OP の法線ベクトルの成分を ( sin  , - 2cos ) とおくと, その式は,
x sin  - 2 y cos = 0 ………②
①②を連立すると, x sin  = -2a sin  cos  , x = -2a cos 
2cos  - a
2cos  - a
a
sin

よって, 点 R の座標は, ( -2a cos ,
) である。
2cos - a 2cos - a
- a sin 
(2) 点 R の y 座標 f (  ) は, (1)より, f (  ) =
となり,
2cos - a
- a cos ( 2cos - a ) + a sin  ⋅ ( - 2sin  )
a ( a cos - 2 )
f ¢(  ) =
=
2
( 2cos - a )
( 2cos - a )2
ここで , a > 2 から , 0 < 2 <1 となり ,
a
0 <  <  において cos  = 2 となる  が 1
2
a

f ¢(  )
f ( )
つ存在する。これより , f (  ) の増減は右表
0
…

…
＋
0
－



のようになり, f (  ) は  =  において最大となる。
すると, sin  = 1 - 42 =
a
f ( ) =
a2 - 4
となり, f (  ) の最大値は,
a
- a a2 - 4
- a sin 
=
=
2cos  - a
4 - a2
(3) OR2 = ( -2a cos
2cos - a
これより , g (  ) =
- a sin 
) + ( 2cos
)
 -a
2
2
=
a
a -4
2
4a 2 cos2 + a 2 sin2
a 2 (1 + 3cos2 )
=
( 2cos - a )2
( 2cos - a )2
a 2 (1 + 3cos2 )
1 + 3t 2 ( -1 < t < 1)
h
(
t
)
=
と表せ
,
ここで
( 2t - a )2
( 2cos - a )2
とおくと, g (  ) = a 2h ( t ) となり,
6t ( 2t - a )2 - (1 + 3t 2 ) ⋅ 4( 2t - a ) 6t ( 2t - a ) - 4(1 + 3t 2 )
=
( 2t - a )4
( 2t - a )3
2( 3at + 2 )
-2
=
…
t
-1 …
( a - 2t )3
3a
h ¢( t )
－
＋
すると , - 1 < -2 < 0 から , h ( t ) の増減
0
3 3a
h(t )


は右表のようになる。
h ¢( t ) =
－2－
1
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解答解説
よって, t = -2 のとき h ( t ) は最小, このとき g (  ) も最小となり, 最小値は,
3a
1 + 122
9a 2 + 12 = 3a 2
2
2
2
9a
2
=
⋅
a
=a ⋅
a h(
)
2
3a
4 + 3a 2
( 4 + 3a 2 )2
( - 34a - a )
［解説］
計算主体の問題です。(2)と(3)の 2 つの設問には, 関係がとりたてて見出せません。
そのため, 計算量がかなり多めとなっています。なお, (3)の微分を  で実行すると面
倒なことになりそうなので, 置き換えをしています。
－3－
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３
解答解説
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4
3
2
3
2
(1) C : y = x - 2( a + 1) x + 3ax に対して, y ¢ = 2{ 2x - 3( a + 1) x + 3ax }
y ¢¢ = 6{ 2x 2 - 2( a + 1) x + a }
そこで , y ¢¢ = 0 の解は x =
a2 + 1
a +1 
x
…

…

…
となり, この値を x =  ,  (  <  ) とおく。
y ¢¢
＋
0
－
0
＋
すると, 曲線 C の凹凸は右表のようになり,
y
È
2
Ç
È
x =  ,  において変曲点をとる。
よって, 条件  -  = 2 すなわち
a 2 + 1 = 2 より, a = 1 ( a > 0 ) である。
(2) (1)より, C : y = f ( x ) とおくと, f ( x ) = x 4 - 4 x 3 + 3x 2 = x 2 ( x -1)( x - 3 )
f ¢( x ) = 2( 2x 3 - 6x 2 + 3x ) , f ¢¢( x ) = 6( 2x 2 - 4 x + 1)
ここで , P(  , f (  ) ) , Q(  , f (  ) ) とおくと , 解と係数
の関係より,  +  = 2 ,  = 1 となる。
2
¢¢
¢¢
さて, f (  ) = f (  ) = 0 から, f ( x ) を f ¢¢( x ) で割ると,
f ( x ) = 1 f ¢¢( x ) ( 1 x 2 - x - 3 ) + ( - 2x + 3 )
6
2
4
4
この式より , f (  ) = -2 + 3 , f (  ) = -2 + 3 となり ,
4
4
3
3
P (  , - 2 + ) , Q (  , - 2 + ) と表せる。そして , 線
4
4
y
P
Oα
R
β
x
M
Q
分 PQ の中点を M とすると, その座標は,
 +
x=
= 1 , y = 1 ( - 2 + 3 - 2 + 3 ) = -(  +  ) + 3 = - 5
4
2
4
4
4
2
すると, M ( 1, - 5 ) から, M と x 座標の等しい C 上の点 R は R(1, 0 ) となる。
4
よって , △ PQR の面積は, MR = 5 ,  -  = 2 より, 1 ⋅ 5 ⋅ 2 = 5 2 である。
4
2 4
8
¢
(3) C : y = f ( x ) 上の点 P(  , f (  ) ) における接線は, y - f (  ) = f (  )( x -  )
ここで, y = f ( x ) と y - f (  ) = f ¢(  )( x -  ) を連立すると,
f ( x ) - f (  ) = f ¢(  )( x -  ) , f ( x ) - f ¢(  )( x -  ) - f (  ) = 0
さて, g ( x ) = f ( x ) - f ¢(  )( x -  ) - f (  ) とおくと,
g ¢( x ) = f ¢( x ) - f ¢(  ) , g ¢¢( x ) = f ¢¢( x )
これより, g (  ) = g ¢(  ) = g ¢¢(  ) = 0 となり, 4 次関数 g ( x ) は ( x -  )3 という因
数をもつ。そして, g ( x ) のもう 1 つの因数を ( x -  ¢ ) とすると,
g ( x ) = k ( x -  )3 ( x -  ¢ ) （k は実数）………(＊)
そして, g ( x ) の 4 次, 3 次の係数は, それぞれ f ( x ) の 4 次, 3 次の係数に一致す
ることより, (＊)の右辺を展開すると,
－4－
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解答解説
1 = k , -4 = k ( - 3 -  ¢ )
これより, -4 = -3 -  ¢ である。さらに, 条件より, 点 P ¢ の x 座標は  ¢ となる
ので,  ¢ = 4 - 3 である。
また, 点 Q(  , f (  ) ) における接線についても同様に考えると, 点 Q¢ の x 座標
 ¢ は  ¢ = 4 - 3 である。
したがって, 線分 P ¢Q¢ の中点の x 座標は,
 ¢ +  ¢ 8 - 3(  +  ) 8 - 3 ⋅ 2
=1
=
=
2
2
2
［解説］
前問に引き続き, 計算量がさらに過激になっています。解答例の流れから｢ g ( x ) は
( x -  )3 という因数をもつという証明｣は省略していますが, 必要であれば, 因数定理
を用いて, g (  ) = g ¢(  ) = g ¢¢(  ) = 0 と同値であることを示すことができます。
－5－
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４
(1)
解答解説
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xk =
p
q
2ak + 6b
+ r より,
に対して, x k = +
k k +1 k + 3
k ( k + 1)( k + 3 )
2ak + 6b = p ( k + 1)( k + 3 ) + qk ( k + 3 ) + rk ( k + 1) ………(＊)
(＊)の 2 次, 1 次の係数, および定数項を比較すると,
0 = p + q + r , 2a = 4 p + 3q + r , 6b = 3 p
よって, p = 2b , q = a - 3b , r = - a + b
n
å xk
(2) b = 0 のとき,
k=1
n
= S1 とおくと, (1)より S1 = å (
k=1
a - a
) となり,
k +1 k + 3
S1 = a {( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) +  + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 )}
2 4
3 5
n n+2
n +1 n + 3
an
(
5
n
+
13
)
= a( 1 + 1 - 1 - 1 ) =
2 3 n +2 n +3
6( n + 2 )( n + 3 )
a = 0 のとき,
n
å xk
k=1
n
= S2 とおくと, (1)より S2 = å ( 2b - 3b + b ) となり,
k +1 k + 3
k=1 k
n
n
S2 = b å { 2 ( 1 - 1 ) - ( 1 - 1 )} = 2b å ( 1 - 1 ) - b S1
k k +1
k +1 k + 3
k +1
a
k=1
k=1 k
bn ( 5n + 13 )
= 2b {( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) +  + ( 1 - 1 )} 1 2
2 3
n n +1
6( n + 2 )( n + 3 )
bn ( 5n + 13 )
bn ( 5n + 13 )
= 2bn = 2b ( 1 - 1 ) 6( n + 2 )( n + 3 )
n + 1 6( n + 2 )( n + 3 )
n +1
=
(3)
xk =
bn (7n2 + 42n + 59 )
6( n + 1)( n + 2 )( n + 3 )
2ak
6b
+
より,
k ( k + 1)( k + 3 ) k ( k + 1)( k + 3 )
¥
å xk = lim ( S1 + S2 ) = lim {
n¥
k=1
n¥
n
å xk
= S1 + S2 となり,
k=1
an ( 5n + 13 )
bn (7n2 + 42n + 59 )
+
}
6( n + 2 )( n + 3 ) 6( n + 1)( n + 2 )( n + 3 )
a ( 5 + 13 )
an ( 5n + 13 )
n
=
 5a
n  ¥ のとき,
6( n + 2 )( n + 3 ) 6 1 + 2 1 + 3
( n )( n ) 6
b ( 7 + 42 + 592 )
bn (7n2 + 42n + 59 )
n
n
=
 7b
6( n + 1)( n + 2 )( n + 3 ) 6 1 + 1 1 + 2 1 + 3
( n )( n )( n ) 6
よって,
¥
å xk
k=1
= 5a + 7b である。
6
6
［解説］
無限級数を求める誘導つきの問題です。方針に迷いは生じないでしょう。
－6－
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５
解答解説
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(1) 条件より, a, b, c は 1 以上 7 以下の自然数である。
さて, a = b > c のとき, 1 = 1 < 1 となり, a +b > c , b +c > a , c + a > b ,
a b c
1 + 1 > 1 , 1 + 1 > 1 は, すべて満たされている。
b c a c a b
すると, (＊)を満たす条件は, 1 + 1 > 1 であり, a = b > c から 2 > 1 となる。
a b c
a c
これより, ( a, c ) の条件は, a > c かつ a < 2c より, c < a < 2c となり,
( a, c ) = ( 3, 2 ) , ( 4, 3 ) , ( 5, 3 ) , ( 5, 4 ) , ( 6, 4 ) , (7, 4 ) ,
( 6, 5 ) , (7, 5 ) , (7, 6 )
したがって, (＊)を満たす ( a, b, c ) の組は 9 個である。
(2) a > b > c のとき ,
1 < 1 < 1 となり , a +b > c , c + a > b ,
a b c
1 +1 > 1 ,
b c a
1 + 1 > 1 は, すべて満たされている。
c a b
すると, (＊)を満たす条件は, b + c > a ……①かつ 1 + 1 > 1 ……②である。
a b c
まず, ①より b > a - c , ②より 1 > 1 - 1 = a - c すなわち b < ac となり,
b c a
ac
a -c
ac
………③
a -c < b <
a -c
ここで, a > b > c から 2≦b≦6 , また a - c≧2 に注意すると, 3≦b≦6 となる。
(i)
b = 3 のとき
a > 3 > c であり, ③より a - c = 2 かつ ac > 6 となり,
( a, c ) = ( 4, 2 )
(ii) b = 4 のとき
a > 4 > c であり, ③より a - c < 4 < ac
a -c
(a)
a - c = 2 かつ ac > 8 のとき
(b)
a - c = 3 かつ ac > 12 のとき
( a, c ) = ( 5, 3 )
( a, c ) = ( 6, 3 )
(a)
a > 5 > c であり, ③より a - c < 5 < ac
a -c
a - c = 2 かつ ac > 10 のとき ( a, c ) = ( 6, 4 )
(b)
a - c = 3 かつ ac > 15 のとき
( a, c ) = ( 6, 3 ) , (7, 4 )
(c)
a - c = 4 かつ ac > 20 のとき
( a, c ) = (7, 3 )
(iii) b = 5 のとき
(a)
a > 6 > c であり, ③より a - c < 6 < ac
a -c
a - c = 2 かつ ac > 12 のとき ( a, c ) = (7, 5 )
(b)
a - c = 3 かつ ac > 18 のとき
( a, c ) = (7, 4 )
(c)
a - c = 4 かつ ac > 24 のとき
この場合を満たす ( a, c ) は存在しない。
(d)
a - c = 5 かつ ac > 30 のとき
この場合を満たす ( a, c ) は存在しない。
(iv) b = 6 のとき
－7－
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解答解説
(i)～(iv)より, (＊)を満たす ( a, b, c ) の組は 9 個である。
(3) まず a > b = c のとき , 1 < 1 = 1 となり , a + b > c , c + a > b , 1 + 1 > 1 ,
a b c
a b c
1 + 1 > 1 , 1 + 1 > 1 は, すべて満たされている。
b c a c a b
すると, (＊)を満たす条件は, b + c > a であり, a > b = c から 2c > a となる。
これより, ( a, c ) の条件は, a > c かつ a < 2c より c < a < 2c となり, (1)の結果か
ら, (＊)を満たす ( a, b, c ) の組は 9 個である。
次に, a = b = c のとき, 1 = 1 = 1 となり, (＊)を満たす ( a, b, c ) の組は明らか
a b c
に 7 個である。
以上より, a, b, c の大小関係も考えて, 条件(＊)を満たす ( a, b, c ) の組の個数は,
9 ´ 3 + 9 ´ 3! + 9 ´ 3 + 7 = 115
［解説］
忍耐強く解いていくタイプの問題です。特に, (2)については, 解答例では b の値で
場合分けをしましたが, a や c の値でもさほど変わりません。途中で浮気心が出てし
まうとマズイことになります。
－8－
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