2010 千葉大学(医系)前期日程 問題! 1! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ! 放物線 " = ! # と直線 " = $! + # によって囲まれる領域を! % = { ' ! & " % $ ! # ≦ " ≦ $! + # } ! とし&! % の面積が ( であるとする。座標平面上で&! ! 座標&! " 座標がともに整数である # 点を格子点と呼ぶ。! '"%! $ = ) のとき&!% に含まれる格子点の個数を求めよ。! '#%! $&!# がともに整数であるとき&!% に含まれる格子点の個数は&!$&!# の値によらず一 定であることを示せ。! ! −"− 2010 千葉大学(医系)前期日程 問題! 2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ! 数直線の原点上にある点が&! 以下の規則で移動する試行を考える。! (規則)サイコロを振って出た目が奇数の場合は&! 正の方向に " 移動し&! 出た 目が偶数の場合は&! 負の方向に " 移動する。! & 回の試行の後の&! 点の座標を ' ' & % とする。! '"%! ' ' ") % = ) である確率を求めよ。! '#%! ' ' " % ≠ ) &! ' ' # % ≠ ) &! …&! ' ' * % ≠ ) であって&! かつ&! ' ' + % = ) となる確率を求 めよ。! ',%! ' ' " % ≠ ) &! ' ' # % ≠ ) &! …&! ' ' ( % ≠ ) であって&! かつ&! ' ' ") % = ) となる確率を求 めよ。! ! −#− 2010 千葉大学(医系)前期日程 問題! 3 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ! $ を " より大きい実数とし&! 座標平面上に&! 点 - ' )& ) % &! . ' "& ) % をとる。曲線 ( ) ( ) " = " 上の点 / (& " と&! 曲線 " = $ 上の点 0 )& $ が&!, 条件! ( ) ! ! '1%! (>)&!)>)! '11% ∠.-/<∠.-0 ! '111% △-/0 の面積は , に等しい! を満たしながら動くとき&! 234 ∠/-0 の最大値が , となるような $ の値を求めよ。! 5 ! −,− 2010 千葉大学(医系)前期日程 問題! 4 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ! 以下の問いに答えよ。! '"%! ,* = & , + " を満たす正の整数の組 ' && * % をすべて求めよ。! '#%! ,* = & # − 5) を満たす正の整数の組 ' && * % をすべて求めよ。! ! −5− 2010 千葉大学(医系)前期日程 問題! 5 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ! ! ' ! % は実数全体で定義された関数とする。実数 $ に関する条件'/%を考える。! '/% 正の実数 + を十分小さく選べば&! ! − $ <+ を満たすすべての実数 ! に対して ! ' ! % ≦ ! ' $ % が成り立つ。! このとき&! 以下の問いに答えよ。! '"%! 実数 $ が条件'/%を満たし&! かつ&! ! ' ! % が ! = $ で微分可能ならば&! ! ′' $ % = ) で あることを証明せよ。! '#%! 関数 ! ' ! % が! $! ! − ! ! '!% = # # !" ! − +! + 6 ' ! <" のとき% ' ! ≧" のとき% ! で定義されているとき&! 条件'/%を満たすような実数 $ 全体の集合を決定せよ。! ',%! 一般に &! 実数全体で定義された関数 ! ' ! % に対し&! 次の命題は正しいか。正しけ れば証明し&! 正しくなければ反例を挙げよ。! '命題% すべての実数 $ が条件'/%を満たすならば&! ! ' ! % は定数関数である。! ! ! −*− 2010 千葉大学(医系)前期日程 1! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ( $#%! ! = & のとき '! % ) $ ≦ # ≦ " であり '! 境界線 # = $ ( 問題のページへ! # + と # = " の交点は'! $ = ± " となる。! これより'!% の面積は'! ! ( " $ " − $ ( % &$ = # $ " + " %* = + $ " %* ! , * − " 条件より'! + $ " %* = - となり'! " = * '! " = - ! ( + * ( ! よって'! % に含まれる格子点は'! $ − #' # % '! $ − #' ( % '! 解答解説! # − * −# ( 2 # * ( $ $ &' & % '! $ &' # % '! $ &' ( % '! $ #' # % '! $ #' ( % となり'! そ の個数は . 個である。! $(%! % ) $ ( ≦ # ≦ !$ + " に対して'! 境界線 # = $ ( と # = !$ + " の交点は'! ! $ ( − !$ − " = & '! $ = ! ( + +" ! ( !± ! ( + +" ! + ! ( + +" '! β = とおくと'!% の面積は'! ! ( ( β * $ !$ + " − $ ( % &$ = # $ β − α %* = # ( ! ( + +" ) ! , , α * 条件より'! # ( ! ( + +" ) = - となり'! ! ( + +" = * '! ! ( + +" = - ………$*%! , ( このとき'! α = ! − * '! β = ! + * である。! ( ( さて'!!'!" は整数なので'!$*%から ! は奇数となり'! α '! β はともに整数である。! ここで'! α = !− ! すると'!% に含まれる格子点の個数は'! ! − * = α ≦ $ ≦ β = ! + * において'! ! ( ( ( ! − * のとき 格子点は $ α ' α % のみより'!# 個である。! $/%! ! $ = ( ( $//%! $ = ! − # のとき $*%より'! " = - − ! となり'! 格子点の個数は'! ! ( + ( ( ! ⋅ ! − # + - − ! − ! − # + # = # $ (! ( − (! + - − ! ( − ! ( + (! − # + + % = * ! + ( + ( ! + # のとき $//%と同様にすると'! 格子点の個数は'! ! $///%! $ = ( ( ( ! ⋅ ! + # + - − ! − ! + # + # = # $ (! ( + (! + - − ! ( − ! ( − (! − # + + % = * ! + ( + ( ( $/0%! $ = ! + * のとき 格子点は $ β ' β % のみより'!# 個である。! ( ( ) ( ) $/%∼$/0%より'! 格子点の個数は'!!'!" の値によらず'! # + * + * + # = 1 個である。! ! [解 説] $#%は$(%の誘導ではありませんが'! うまくまとまった格子点の個数の問題です。! −#− "! 電送数学舎 2010! 解答解説! 2010 千葉大学(医系)前期日程 2! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 問題のページへ! $#%! サイコロを振って奇数の目'! 偶数の目の出る確率は'! それぞれ # ずつである。! ( さて'! ' $ #& % = & であるのは'!#& 回の試行のうち'! 奇数の目が 3 回'! 偶数の目が 3 回出るときであり'! その確率は'! ! # 3 # 3 = ,* ! #&43 ( ( (3, ( )( ) ' $(%! まず'! ' $ # % = # のとき'! 条件を満たすのは'! ! * ' $ ( % = ( '! ' $ + % = ( '! ' $ 3 % = # '! ' $ , % = & ! ( すると '! ' $ * % = # または ' $ * % = * であるので '! そ ( ) の確率は'! ( × # ( , # = # となる。! *( # 2 ( * + 3 , ( また'! ' $ # % = −# のとき'! 同様に考えると'! 条件を満たす確率は # となる。! *( # # # よって'!( つの場合を合わせると'! 求める確率は'! ! + = *( *( #, $*%! まず'! ' $ # % = # のとき'! 条件を満たすの は'!$(%と同じく'! ' $ ( % = ( で'! ! ' # 3 ' $ 1 % = ( '! ' $ - % = # '! ' $ #& % = & ! すると'! 試行回数と移動した点の座標の 関係を表した右図から経路の数を数える と'! #+ 通りの場合がある。これより'! その #& 確率は'! #+ × # = . となる。! ( 3#( ( ) + * # * # ( # + # ( # # #+ 3 ( #+ 3 #+ 2 # ( * + 3 , . 1 - #& ( また'! ' $ # % = −# のとき'! 同様に考えると'! 条件を満たす確率は . となる。! 3#( よって'!( つの場合を合わせると'! 求める確率は'! . + . = . ! 3#( 3#( (3, ! [解 説] $*%では'! 図に書き込んであるように'! 経路の交差点で足し算をして'! 経路数を数え ています。この方法がいちばん確実でしょう。! −(− "! 電送数学舎 2010! 2010 千葉大学(医系)前期日程 3! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 5 )' # '! 6 *' ! に対して'! ∠725 = α '! ∠726 = β # ) * とおくと'! 89: α = #( '! 89: β = !( となる。! * ) ( ) ( 解答解説! 問題のページへ! ) 6 条件より'! α < β なので'! 89: α <89: β ! # < ! '! !) ( − * ( >& ………①! )( * ( さて'! △256 の面積を + とすると'! ①より'! ! + = # ) ⋅ ! − # ⋅ * = # !) ( − * ( = # $ !) ( − * ( % ! ( * ) ( )* ( )* 条件より'! # $ !) ( − * ( % = * '! !) ( − * ( = , )* ………②! ( )* θ 2 5 7 # $ ここで'! ∠526 = θ とおくと'! θ = β − α から'! ! ! − # 89: β − 89: α * ( )( !) ( − * ( 89: θ = 89:$ β − α % = ! = = ( ( # + 89: β 89: α # + ! ⋅ # ) * +! * ( )( ②を代入すると'! 89: θ = , )* , = ≦ , = * ! ) (* ( + ! )* + ! ! ( ! )* 等号は'! )* = ! すなわち )* = ! のときに成立する。! )* よって'! 89: θ の最大値は * となり'! * = * から'! ! = #, である。! ! ! + ! [解 説] 相加平均と相乗平均の関係を用いる最大・最小問題です。置き換えて'! 微分法の利 用という手もありますが'! おすすめは前者です。なお'! 等号の成立する )'! * の値が存 在することは明らかなので'! 記述を省いています。! −*− "! 電送数学舎 2010! 2010 千葉大学(医系)前期日程 4! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! , * , 解答解説! 問題のページへ! ( $#%! * = ( + # より'! * = $ ( + # %$ ( − ( + # % ………①! ここで'! $ ( ( − ( + # % − $ ( + # % = ( $ ( − ( % から'!(≧* において'! ( ( − ( + #>( + # ! $/%! ! ( = # のとき ①より *, = ( となり'! 正の整数 , は存在しない。! $//%! ( = ( のとき ①より *, = - となり'! , = ( である。! $///%! ( ≧ * のとき ①より'!- を ( 以上の整数として'! ! ( + # = * ………②'! ( ( − ( + # = *, − - ………③! さらに'! , − ->- から - < , となり'! ( ≦ - < , である。! ( ( ②から'! ( = *- − # となり'! ③に代入すると'! $ *- − # %( − $ *- − # % + # = *, − - ! - *(- − *- +# + * = *, − - '! *(- −# − *- + # = *, − - −# ………④! ここで'! (- − # ≧ * '! , − - − # = , − (- + - − #># となり'! ④は左辺が * の倍数ではな く右辺が * の倍数となるので'! 成立しない。! $/%$//%$///%より'! ①を満たす正の整数の組は'! $ (' , % = $ (' ( % である。! $(%! まず'! *, を #& で割った余りは'! , が奇数のとき * または .'! , が偶数のとき # ま たは - である。また'! ( ( を #& で割った余りは'!&'!#'!+'!3'!,'!- のいずれかである。! さて'! *, = ( ( − +& ……⑤より'! 両辺を #& で割った余りが等しくなるのは'! , が 偶数のときであり'!. を自然数として , = (. とおくと'! ⑤から'! ! *(. − ( ( = −+& '! $ *. + ( %$ *. − ( % = − (* × 3 ………⑥! *. + (>&>*. − ( であり'! *. + ( と *. − ( は偶奇が一致することより'! ! $/%! ! $ *. + (' *. − ( % = $ (' − (& % のとき *. = − - となり'! 不適である。! $//%! $ *. + (' *. − ( % = $ +' − #& % のとき *. = − * となり'! 不適である。! $///%! $ *. + (' *. − ( % = $ #&' − + % のとき! *. = * から . = # '! ( = . となる。このとき'! , = ( である。! $/0%! $ *. + (' *. − ( % = $ (&' − ( % のとき! *. = - から . = ( '! ( = ## となる。このとき'! , = + である。! $/%∼$/0%より'! ⑤を満たす正の整数の組は'! $ (' , % = $ .' ( %' $ ##' + % である。! ! [解 説] $#%は右辺の因数分解が糸口になっていますが'! $(%はそれができません。いろいろ失 敗を重ねた後の解答例です。! −+− "! 電送数学舎 2010! 2010 千葉大学(医系)前期日程 5! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説! 問題のページへ! $#%! ! $ $ % が $ = ! で微分可能であることより'! ! ! $$ %− ! $!% ! $$%− ! $!% = ;/< ! ! ′$ ! % = ;/< $ →! −& $ −! $ →! +& $ −! ! $$%− ! $!% ! $$%− ! $!% ここで'! 条件$5%より'! ;/< ≧ & '! ;/< ≦& ! $ →! −& $ −! $ →! +& $ −! よって'! ! ′$ ! % ≧ & かつ ! ′$ ! % ≦ & より'! ! ′$ ! % = & である。! $(%! 条件より'! 関数 ! $ $ % は次のように定義される。! $/=/%! ! $ <& のとき ! $ $ % = −$ − $ = −($ ! $/=//%! ! & ≦ $ <# のとき ! $$ % = $ −$ = &! # $//=/%! ! # ≦ $ <( のとき! ! $ $ % = $ ( − ,$ + 1 = $ $ − * % ( − # ! $//=//%! ( ≦ $ <+ のとき! ! $ $ % = − $ $ ( − ,$ + 1 % = − $ $ − * %( + # ! $//=///%! $ ≧ + のとき! ! $ $ % = $ ( − ,$ + 1 = $ $ − * % ( − # ! * # 2 # ( * + $ 以上より'! # = ! $ $ % のグラフをかくと'! 右上図のようになる。ただし'! 黒丸の端 点は含み'! 白丸の端点は含まない。! これより'! 条件$5%を満たすような実数 ! の範囲は'! &<! ≦# '! ! = * である。! $*%! 命題「すべての実数 ! が条件$5%を満たすならば'! ! $ $ % は定数関数である」は正 しくない。! 反例は'!$ を超えない最大整数を [ $ ] とおくと'! ! $ $ % = [ $ ] である。! ! [解 説] $(%の ! $ $ % が不連続関数となっており'! それが誘導だろうと推測して'! $*%の反例を 提示しました。! ! −3− "! 電送数学舎 2010!
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