2010 千葉大学（医系）前期日程
問題!
１! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ!
放物線 " = ! # と直線 " = $! + # によって囲まれる領域を!
% = { ' ! & " % $ ! # ≦ " ≦ $! + # } !
とし&! % の面積が ( であるとする。座標平面上で&! ! 座標&! " 座標がともに整数である
#
点を格子点と呼ぶ。!
'"%! $ = ) のとき&!% に含まれる格子点の個数を求めよ。!
'#%! $&!# がともに整数であるとき&!% に含まれる格子点の個数は&!$&!# の値によらず一
定であることを示せ。!
!
−"−
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問題!
２ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ!
数直線の原点上にある点が&! 以下の規則で移動する試行を考える。!
（規則）サイコロを振って出た目が奇数の場合は&! 正の方向に " 移動し&! 出た
目が偶数の場合は&! 負の方向に " 移動する。!
& 回の試行の後の&! 点の座標を ' ' & % とする。!
'"%! ' ' ") % = ) である確率を求めよ。!
'#%! ' ' " % ≠ ) &! ' ' # % ≠ ) &! …&! ' ' * % ≠ ) であって&! かつ&! ' ' + % = ) となる確率を求
めよ。!
',%! ' ' " % ≠ ) &! ' ' # % ≠ ) &! …&! ' ' ( % ≠ ) であって&! かつ&! ' ' ") % = ) となる確率を求
めよ。!
!
−#−
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問題!
３ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ!
$ を " より大きい実数とし&! 座標平面上に&! 点 - ' )& ) % &! . ' "& ) % をとる。曲線
(
)
(
)
" = " 上の点 / (& " と&! 曲線 " = $ 上の点 0 )& $ が&!, 条件!
(
)
!
!
'1%!
(＞)&!)＞)!
'11%
∠.-/＜∠.-0 !
'111%
△-/0 の面積は , に等しい!
を満たしながら動くとき&! 234 ∠/-0 の最大値が , となるような $ の値を求めよ。!
5
!
−,−
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問題!
４ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ!
以下の問いに答えよ。!
'"%! ,* = & , + " を満たす正の整数の組 ' && * % をすべて求めよ。!
'#%! ,* = & # − 5) を満たす正の整数の組 ' && * % をすべて求めよ。!
!
−5−
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問題!
５ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 解答解説のページへ!
! ' ! % は実数全体で定義された関数とする。実数 $ に関する条件'/%を考える。!
'/%
正の実数 + を十分小さく選べば&! ! − $ ＜+ を満たすすべての実数 ! に対して
! ' ! % ≦ ! ' $ % が成り立つ。!
このとき&! 以下の問いに答えよ。!
'"%! 実数 $ が条件'/%を満たし&! かつ&! ! ' ! % が ! = $ で微分可能ならば&! ! ′' $ % = ) で
あることを証明せよ。!
'#%! 関数 ! ' ! % が!
$! ! − !
! '!% = # #
!" ! − +! + 6
' ! ＜" のとき%
' ! ≧" のとき%
!
で定義されているとき&! 条件'/%を満たすような実数 $ 全体の集合を決定せよ。!
',%! 一般に &! 実数全体で定義された関数 ! ' ! % に対し&! 次の命題は正しいか。正しけ
れば証明し&! 正しくなければ反例を挙げよ。!
'命題%
すべての実数 $ が条件'/%を満たすならば&! ! ' ! % は定数関数である。!
!
!
−*−
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１! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
(
$#%! ! = & のとき '! % ) $ ≦ # ≦ " であり '! 境界線 # = $
(
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#
+
と # = " の交点は'! $ = ± " となる。!
これより'!% の面積は'! !
(
"
$ " − $ ( % &$ = # $ " + " %* = + $ " %* !
,
*
− "
条件より'! + $ " %* = - となり'! " = * '! " = - !
(
+
*
(
!
よって'! % に含まれる格子点は'! $ − #' # % '! $ − #' ( % '!
解答解説!
#
−
* −#
(
2
#
*
(
$
$ &' & % '! $ &' # % '! $ &' ( % '! $ #' # % '! $ #' ( % となり'! そ
の個数は . 個である。!
$(%! % ) $ ( ≦ # ≦ !$ + " に対して'! 境界線 # = $ ( と # = !$ + " の交点は'! !
$ ( − !$ − " = & '! $ =
! ( + +"
!
(
!±
! ( + +"
! + ! ( + +"
'! β =
とおくと'!% の面積は'! !
(
(
β
*
$ !$ + " − $ ( % &$ = # $ β − α %* = # ( ! ( + +" ) !
,
,
α
*
条件より'! # ( ! ( + +" ) = - となり'! ! ( + +" = * '! ! ( + +" = - ………$＊%!
,
(
このとき'! α = ! − * '! β = ! + * である。!
(
(
さて'!!'!" は整数なので'!$＊%から ! は奇数となり'! α '! β はともに整数である。!
ここで'! α =
!−
!
すると'!% に含まれる格子点の個数は'! ! − * = α ≦ $ ≦ β = ! + * において'! !
(
(
(
!
−
*
のとき 格子点は $ α ' α % のみより'!# 個である。!
$/%! ! $ =
(
(
$//%! $ = ! − # のとき $＊%より'! " = - − ! となり'! 格子点の個数は'! !
(
+
(
(
! ⋅ ! − # + - − ! − ! − # + # = # $ (! ( − (! + - − ! ( − ! ( + (! − # + + % = * !
+
(
+
(
!
+
#
のとき $//%と同様にすると'! 格子点の個数は'! !
$///%! $ =
(
(
(
! ⋅ ! + # + - − ! − ! + # + # = # $ (! ( + (! + - − ! ( − ! ( − (! − # + + % = * !
+
(
+
(
(
$/0%! $ = ! + * のとき 格子点は $ β ' β % のみより'!# 個である。!
(
(
)
(
)
$/%∼$/0%より'! 格子点の個数は'!!'!" の値によらず'! # + * + * + # = 1 個である。!
!
［解 説］
$#%は$(%の誘導ではありませんが'! うまくまとまった格子点の個数の問題です。!
−#−
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解答解説!
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２! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
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$#%! サイコロを振って奇数の目'! 偶数の目の出る確率は'! それぞれ # ずつである。!
(
さて'! ' $ #& % = & であるのは'!#& 回の試行のうち'! 奇数の目が 3 回'! 偶数の目が 3
回出るときであり'! その確率は'! !
# 3 # 3 = ,* !
#&43
(
(
(3,
( )( )
'
$(%! まず'! ' $ # % = # のとき'! 条件を満たすのは'! !
*
' $ ( % = ( '! ' $ + % = ( '! ' $ 3 % = # '! ' $ , % = & !
(
すると '! ' $ * % = # または ' $ * % = * であるので '! そ
( )
の確率は'! ( × #
(
,
#
= # となる。!
*(
#
2
(
*
+ 3
,
(
また'! ' $ # % = −# のとき'! 同様に考えると'! 条件を満たす確率は # となる。!
*(
#
#
#
よって'!( つの場合を合わせると'! 求める確率は'!
!
+
=
*( *( #,
$*%! まず'! ' $ # % = # のとき'! 条件を満たすの
は'!$(%と同じく'! ' $ ( % = ( で'! !
'
#
3
' $ 1 % = ( '! ' $ - % = # '! ' $ #& % = & !
すると'! 試行回数と移動した点の座標の
関係を表した右図から経路の数を数える
と'! #+ 通りの場合がある。これより'! その
#&
確率は'! #+ × #
= . となる。!
(
3#(
( )
+
*
#
*
#
(
#
+
#
(
#
#
#+
3
(
#+
3
#+
2
#
(
*
+ 3
, . 1
- #& (
また'! ' $ # % = −# のとき'! 同様に考えると'! 条件を満たす確率は . となる。!
3#(
よって'!( つの場合を合わせると'! 求める確率は'! . + . = . !
3#( 3#( (3,
!
［解 説］
$*%では'! 図に書き込んであるように'! 経路の交差点で足し算をして'! 経路数を数え
ています。この方法がいちばん確実でしょう。!
−(−
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３! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
5 )' # '! 6 *' ! に対して'! ∠725 = α '! ∠726 = β
#
)
*
とおくと'! 89: α = #( '! 89: β = !( となる。!
*
)
(
)
(
解答解説!
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)
6
条件より'! α ＜ β なので'! 89: α ＜89: β !
# ＜ ! '! !) ( − * ( ＞& ………①!
)( * (
さて'! △256 の面積を + とすると'! ①より'! !
+ = # ) ⋅ ! − # ⋅ * = # !) ( − * ( = # $ !) ( − * ( % !
(
* )
( )*
( )*
条件より'! # $ !) ( − * ( % = * '! !) ( − * ( = , )* ………②!
( )*
θ
2
5
7
#
$
ここで'! ∠526 = θ とおくと'! θ = β − α から'! !
! − #
89: β − 89: α
* ( )(
!) ( − * (
89: θ = 89:$ β − α % =
!
=
= ( (
# + 89: β 89: α # + ! ⋅ #
) * +!
* ( )(
②を代入すると'! 89: θ =
, )*
,
=
≦ , = * !
) (* ( + ! )* + !
!
( !
)*
等号は'! )* = ! すなわち )* = ! のときに成立する。!
)*
よって'! 89: θ の最大値は * となり'! * = * から'! ! = #, である。!
!
! +
!
［解 説］
相加平均と相乗平均の関係を用いる最大・最小問題です。置き換えて'! 微分法の利
用という手もありますが'! おすすめは前者です。なお'! 等号の成立する )'! * の値が存
在することは明らかなので'! 記述を省いています。!
−*−
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４! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
,
*
,
解答解説!
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(
$#%! * = ( + # より'! * = $ ( + # %$ ( − ( + # % ………①!
ここで'! $ ( ( − ( + # % − $ ( + # % = ( $ ( − ( % から'!(≧* において'! ( ( − ( + #＞( + # !
$/%! ! ( = # のとき
①より *, = ( となり'! 正の整数 , は存在しない。!
$//%! ( = ( のとき
①より *, = - となり'! , = ( である。!
$///%! ( ≧ * のとき
①より'!- を ( 以上の整数として'! !
( + # = * ………②'! ( ( − ( + # = *, − - ………③!
さらに'! , − -＞- から - ＜ , となり'! ( ≦ - ＜ , である。!
(
(
②から'! ( = *- − # となり'! ③に代入すると'! $ *- − # %( − $ *- − # % + # = *, − - !
-
*(- − *- +# + * = *, − - '! *(- −# − *- + # = *, − - −# ………④!
ここで'! (- − # ≧ * '! , − - − # = , − (- + - − #＞# となり'! ④は左辺が * の倍数ではな
く右辺が * の倍数となるので'! 成立しない。!
$/%$//%$///%より'! ①を満たす正の整数の組は'! $ (' , % = $ (' ( % である。!
$(%! まず'! *, を #& で割った余りは'! , が奇数のとき * または .'! , が偶数のとき # ま
たは - である。また'! ( ( を #& で割った余りは'!&'!#'!+'!3'!,'!- のいずれかである。!
さて'! *, = ( ( − +& ……⑤より'! 両辺を #& で割った余りが等しくなるのは'! , が
偶数のときであり'!. を自然数として , = (. とおくと'! ⑤から'! !
*(. − ( ( = −+& '! $ *. + ( %$ *. − ( % = − (* × 3 ………⑥!
*. + (＞&＞*. − ( であり'! *. + ( と *. − ( は偶奇が一致することより'! !
$/%! ! $ *. + (' *. − ( % = $ (' − (& % のとき
*. = − - となり'! 不適である。!
$//%! $ *. + (' *. − ( % = $ +' − #& % のとき
*. = − * となり'! 不適である。!
$///%! $ *. + (' *. − ( % = $ #&' − + % のとき!
*. = * から . = # '! ( = . となる。このとき'! , = ( である。!
$/0%! $ *. + (' *. − ( % = $ (&' − ( % のとき!
*. = - から . = ( '! ( = ## となる。このとき'! , = + である。!
$/%∼$/0%より'! ⑤を満たす正の整数の組は'! $ (' , % = $ .' ( %' $ ##' + % である。!
!
［解 説］
$#%は右辺の因数分解が糸口になっていますが'! $(%はそれができません。いろいろ失
敗を重ねた後の解答例です。!
−+−
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５! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
解答解説!
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$#%! ! $ $ % が $ = ! で微分可能であることより'! !
! $$ %− ! $!%
! $$%− ! $!%
= ;/<
!
! ′$ ! % = ;/<
$ →! −&
$ −!
$ →! +&
$ −!
! $$%− ! $!%
! $$%− ! $!%
ここで'! 条件$5%より'! ;/<
≧ & '! ;/<
≦& !
$ →! −&
$ −!
$ →! +&
$ −!
よって'! ! ′$ ! % ≧ & かつ ! ′$ ! % ≦ & より'! ! ′$ ! % = & である。!
$(%! 条件より'! 関数 ! $ $ % は次のように定義される。!
$/=/%! ! $ ＜& のとき
! $ $ % = −$ − $ = −($ !
$/=//%! ! & ≦ $ ＜# のとき
! $$ % = $ −$ = &!
#
$//=/%! ! # ≦ $ ＜( のとき!
! $ $ % = $ ( − ,$ + 1 = $ $ − * % ( − # !
$//=//%! ( ≦ $ ＜+ のとき!
! $ $ % = − $ $ ( − ,$ + 1 % = − $ $ − * %( + # !
$//=///%! $ ≧ + のとき!
! $ $ % = $ ( − ,$ + 1 = $ $ − * % ( − # !
*
#
2
#
(
*
+
$
以上より'! # = ! $ $ % のグラフをかくと'! 右上図のようになる。ただし'! 黒丸の端
点は含み'! 白丸の端点は含まない。!
これより'! 条件$5%を満たすような実数 ! の範囲は'! &＜! ≦# '! ! = * である。!
$*%! 命題「すべての実数 ! が条件$5%を満たすならば'! ! $ $ % は定数関数である」は正
しくない。!
反例は'!$ を超えない最大整数を [ $ ] とおくと'! ! $ $ % = [ $ ] である。!
!
［解 説］
$(%の ! $ $ % が不連続関数となっており'! それが誘導だろうと推測して'! $*%の反例を
提示しました。!
!
−3−
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