線形写像の定義線形写像と行列 . . 線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列土屋和由基礎・教養教育センター 2015 年 10 月 22 日土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 線形写像の意義部分空間の性質を調べる方法部分空間は基底による生成ベクトルを選択することにより，その性質を調べることが出来る．← 静的な調査部分空間を動かしたり，複数の部分空間を比較することにより，性質がより詳細に調査出来る．← 動的な調査部分空間は集合であるから比較するための道具は写像であるが，和とスカラー倍を保存する写像でなくてはならない．⇒ 線形写像 . 本日の目標 . 線 . 形写像の定義及びその行列との関連を理解する．土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 線形写像の定義 . Definition (線形写像) . 写像 f : Rn → Rm に対して， . 任意の x, y ∈ Rn に対して，f (x + y) = f (x) + f (y). 1 . 任意の実数 c, x ∈ Rn に対して，f (cx) = cf (x). 2 を満たすとき，f を Rn から Rm への線形写像（一次写像）と呼ぶ． .特に n = m のとき，線形変換（一次変換）と呼ぶ．例写像 O : Rn → Rn を O(x) = 0, x ∈ Rn とすると，O は線形変換．写像 Id : Rn → Rn を Id(x) = x, x ∈ Rn とすると，Id は線形変換．土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 線形写像の例例写像 f : R2 → R2 を (( )) ( ) x y f = y x とすると，f は線形変換（f は直線 y = x に関する折り返し）．例 (( 写像 f : R2 → R2 を f x y )) ( = x xy ) とすると， f は線形変換ではない．例 ( 写像 f : R2 → R2 を f ( x y ) ( ) x +1 )= とすると， y f は線形変換ではない．土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 行列の積により定まる写像 . Theorem (行列の積により定まる写像) . (m, n) 行列 A に対して，写像 fA : Rn → Rm を fA (x) = Ax, x ∈ Rn と定義する． .このとき，fA は線形写像である．証明 1. x, y ∈ Rn とする．このとき， fA (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = fA (x) + fA (y) が成立する． 2. c を実数, x ∈ Rn とする．このとき， fA (cx) = A(cx) = cAx = cfA (x) が成立する． (( )) ( ) ( )( ) x y 0 1 x 例 f = = . y x 1 0 y ⇒ 直線 y = x に関する折り返しは線形変換．土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 線形写像と行列の積 . 問 . 行列の積によって定まる写像は線形写像であったが，一般の線形写像は行列の積で表されるか？ .   x1  .  f : Rn → Rm を線形写像，x =  ..  ∈ Rn とすると， xn f (x) = f (x1 e1 + · · · + xn en ) = f (x1 e1 ) + · · · + f (xn en ) = x1 f (e1 ) + · · · + xn f (en )   x1  .  (f (e1 ) . . . f (en ))  ..  . xn = したがって，線形写像は行列 A = (f (e1 ) . . . f (en )) の積で表される．土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 線形写像と行列の積の同値性 . Theorem (線形写像と行列の積の同値性) . (m, n) 行列 A に対して，写像 fA : Rn → Rm , fA (x) = Ax は線形写像． . 線形写像 f : Rn → Rm は f (x) = fA (x) = Ax と表される．ただし，A = (f (e1 ) . . . f (en )). したがって，A = O(m,n) の場合以外は，線形写像 f は変数 x1 , . . . , xn に関する一次式で表される．「線形写像」と「行列の積」は「同値な」概念である．線形写像に対する幾何学的な性質を，行列の計算で調べることが出来る．行列に関しては，線形代数学 I において多くの計算技術を習得している，土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 多角形内部の線形変換 ( A= ( A= 3 0 0 2 1 2 2 1 ) ⇒ ) ⇒ 土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 立方体内部の線形変換  1 A= 0 0  1 A= 1 3 0 2 0 2 1 −1  0 0 ⇒ 3  1 −3  ⇒ −2 土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列線形写像の定義線形写像と行列 . 線形変換による図形の退化 . 線形変換による図形の退化 . 線 . 形変換によって次元が下がる（図形がつぶれる）ことがある．例  0 A= 0 3 3 0 0  0 0 ⇒ 0 球面内部が円盤に変換される．土屋和由線形代数学 II - b 05. 線形写像と行列