線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル

平面上のベクトル
空間内のベクトル
.
.
線形代数学 I - b
01. 平面上，空間内のベクトル
土屋和由
基礎・教養教育センター
2015 年 04 月 09 日
土屋和由
線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 工学と線形代数学
工学と線形代数学
工学では多次元データを扱う場面がしばしば現れる．
多次元データの解析において，幾何学的な発想が有用となる．
線形代数学では「真っ直ぐな図形」に対する強力なツールを提供
する．
線形代数学 I で扱う内容
. 平面（ 2 次元），空間（ 3 次元）の幾何学
1
幾何学的直観が働く世界で線形代数学のプロトタイプを理解
する
. 行列，行列式の理論
2
n 次元の幾何学を理解するための計算手法を習得する
特に，連立方程式の解法は多くの工学的応用を有する
土屋和由
線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 平面上のベクトルの定義
.
Definition (平面上のベクトルの定義)
.
a
長さと向きだけに着目した平面上の有向線分を平
面上のベクトルと呼ぶ．特に，位置は問題にし
ない．
|a| によって a の長さを表す．
.
ベクトルと座標の間の一対一対応
xy 平面上の原点を始点とするベクトル
a
(
)
と，終点の座標
a1
a2
が一対一に対応
y
a2
(
a=
a1
a2
する．
√
特に，|a| = a12 + a22 が成立する．
a1
O
⇒ 計算（代数学）によって，幾何学的性質が調べられる．
土屋和由
線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
)
x
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 身の回りの「ベクトル」
力や速度はベクトルで表される．
出典：E. クライツィグ著（堀素夫訳），線形代数とベクトル解析（原書第 8 版），技術者のための高等数学 2，培風館
⇒ 物理量が計算によって求められる．
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線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 平面上のベクトルの演算
平面上のベクトルの演算
(
)
(
)
a1
b1
a=
,b =
：ベクトル，c ：実数に対して，
a2
b2
和 a + b 及びスカラー倍 ca が
(
)
(
)
a1 + b1
ca1
a+b=
, ca =
a2 + b2
ca2
によって定義される．
⇐ ベクトルの演算を定義する意義は？
土屋和由
線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. ベクトルの演算と合力
二つの力の合力はベクトルの和で表される．
出典：E. クライツィグ著（堀素夫訳），線形代数とベクトル解析（原書第 8 版），技術者のための高等数学 2，培風館
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線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 平面上のベクトルの演算の例
.
Example
.
(
)
(
)
−2
2
a=
,b =
.
4
1
√
(1) |a| = 2 (
5
)
0
(2) a + b =
5)
(
2
(3) −a =
−4
.
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線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 平面上のベクトルの内積
.
Definition (平面上のベクトルの内積)
.
(
)
(
)
(
)
a1
b1
0
a=
,b =
̸= 0 =
a2
b2
0
に対して，内積 (a, b) を
b
(a, b) = |a||b| cos θ = a1 b1 + a2 b2
.と定義する．ただし，0 ≦ θ ≦ π とする．
θ
a
O
内積と直交性
a と b が直交する ⇔ (a, b) = 0
.
Example
.
(
)
(
)
−2
2
a=
,b =
⇒ (a, b) = 0
4
1
.
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線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 空間内のベクトルと座標
空間内のベクトルと座標の間の一対一対応
z
xyz 空間内の原点を始点とする
ベクトル
 a と，終点の座標

a1
 a2  が一対一に対応する．
a3
√
特に，|a| = a12 + a22 + a32 が
成立する．
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
a3

a1
a =  a2 
a3
O
a2
a1
x
線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
y
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 空間内のベクトルの演算
空間内のベクトルの演算




a1
b1
a =  a2  , b =  b2 ：ベクトル，
a3
b3
c ：実数に対して，
和 a + b 及びスカラー倍 ca が




a1 + b1
ca1
a + b =  a2 + b2  , ca =  ca2 
a3 + b3
ca3
によって定義される．
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線形代数学 I - b 01. 平面上，空間内のベクトル
平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 空間内のベクトルの内積
.
Definition (空間内のベクトルの内積)
.




 
a1
b1
0
a =  a2  , b =  b2  ̸= 0 =  0 
a3
b3
0
に対して，内積 (a, b) を
b
(a, b) = |a||b| cos θ = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
.と定義する．ただし，0 ≦ θ ≦ π とする．
θ
a
O
内積と直交性
a と b が直交する ⇔ (a, b) = 0
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平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 空間内のベクトルの例
.
Example
.



−3
a =  2 ,b = 
1
√
(1) |a| = 14


−1
(2) a + b =  3 
5
−12
(3) 2a − 3b =  1
−10

2
1 .
4




3
(4) 3(a − b) − 2(a − 3b) =  5 
13
(5)
(a,
b)
=
0
.
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平面上のベクトル
空間内のベクトル
. 平面 vs 空間
類似点
幾何学（ベクトル）と代数（座標）との対応
演算の定義
ベクトルの和は「各成分ごとの和」
ベクトルのスカラー倍は「各成分ごとの実数倍」
内積の定義と性質
相違点
座標成分の個数
平面上の座標は二つの実数の組
空間内の座標は三つの実数の組
図示した場合の複雑さ
類似点は n 次元に拡張可能？
相違点を n 次元に拡張することは困難？
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