2015 年 7 月 8 日 (水) No.1 [email protected] 線形代数学・同演習 A 講義資料 11 お知らせ • 定期試験予告を行いました．欠席されたお友達がいらっしゃいましたら，持ち込み用紙の用意をお忘れなきようお伝えください．定期試験にて持ち込み用紙が提出されていない答案は採点の対象外となりますのでご注意ください． • 7/22 定期試験終了後，授業アンケートをお配りします．アンケートは 7/29（講義最終日）に回収致します．なお本アンケートは九州大学が行っている「授業評価アンケート」とは別物です．そちらにも別途回答を宜しくお願い申し上げます．このアンケートは，後期「線形代数学・同演習 B」の準備・進行にあたって，皆さんのご意見をフィードバックするために行うものです．九大版のアンケートの結果が到着するのは随分先で，恐らく後期開始までには間に合いません．そのための対策ということでご容赦願います．なお，このアンケートに記入された内容が成績に影響することは一切ありません．答案返却日の 7/29 に回収するのもそのためですが，万一その疑いがありましたらお申し出下さい．本アンケートの結果及び自由記述欄については個人が特定出来ない形で公開させて頂きます．その際，横山からのコメントを付けます．何卒ご了承下さい．演習問題 8 へのコメント • 何か計算の跡があれば 1 点，正解していれば満点を与えています． • 行列のカッコ ( ) と行列式のカッコ | | は区別して書きましょう． • 行列式の計算は部分点を与えにくいので，定期試験では all or nothing で採点致します．定期試験（7/22）についてのヒント試験勉強の助けとなるかもしれないので，出題傾向を明かしておきます．どうぞ参考にして頂ければ幸いです．予告した通り，計算問題のウェイトをかなり上げてあります． • 問題 A [15 点] ヒント：行列の基本変形．闇雲に値を代入してもよい（部分点はもらえる）が，満点を狙うのは難しいと思う． • 問題 B [20 点] 中間試験の問題 C のタイプ．4 題出題する．うち 2 つは中間までの範囲から，残りは行列式・余因子行列の話題から．授業のノートをしっかり読み込んでおけば解ける問題． • 問題 C [40 点] 行列式を求めよ，という計算問題を 5 題出題．1 問 8 点という高配点につき，計算ミスを犯さないよう慎重に挑むこと．ここで稼いでおかないと，高得点を狙うのは厳しいと思われる． • 問題 D [15 点] ほんの少しだけ変わり種の問題．といっても，問題文をよく読めばただの計算問題であることに気付けるはず．行列の掛け算を間違わないように． 1 • 問題 E [20 点] 高得点を狙う方との差をつけるための証明問題．3 題のうち好きなものを 1 つ選んで解答する選択方式となっていて，自分が解けそうなものに取り組んでもらう，全て証明問題に見えるかもしれないが，実は本質的に計算問題であることに気付けるかがカギ．今日の内容 • 行列・ベクトルの幾何的意味（前回からの続き）．＊＊＊ 11.1 内積と行列式の意味 ( 座標平面 R2 を考える．2 つのベクトル a = a1 a2 ) ( ,b= b1 b2 ) a · b = a1 b1 + a2 b2 に対して  a1   b1      を a と b の内積 inner product と呼ぶ．3 次元の場合も同様に a =  a2 , b =  b2  に対 a3 b3 して a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 と定義する1 ．このとき次が成り立つ．命題（Cauchy-Schwarz の不等式） |a · b| ≤ |a||b|．命題（三角不等式） |a + b| ≤ |a| + |b|． Cauchy-Schwarz の不等式から −1 ≤ a·b ≤1 |a||b| が成り立つ．従って，2 つのベクトル a と b のなす角を θ とすれば cos θ = a·b |a||b| と書ける．特に 2 つのベクトルが直交する（＝なす角が π/2 となる）ためには a·b=0 となればよいことが分かる．このように内積が 0 になる状態を「内積が消えている」と表現することもある．ここで，次の事実を述べよう．命題 2 つのベクトル a, b の作る平行四辺形の面積 S は √ S = |a|2 |b|2 − (a · b)2 ( ) ( ) a1 b1 で与えられる．特に a= , b= のとき a2 b2 1n 次元ベクトル同士の内積も全く同様に定義出来る（後期終盤の「内積空間」のところで少し扱う）． 2 2015 年 7 月 8 日 (水) No.2 [email protected] S = |a1 b2 − a2 b1 | となる．つまり S = |det(a b)|（2 つのベクトル a, b を並べた 2 次正方行列の行列式の絶対値）である． S は平行四辺形の面積であるから，常に 0 以上の実数値をとる．一方，行列式は負の値をとることもあるので，絶対値を付けておく必要がある．行列式の正負は，ベクトルのなす角が鋭角か鈍角かを表している． 11.2 外積     a1 b1     座標平面 R3 を考える．2 つのベクトル a =  a2 , b =  b2  に対して a3 b3  a 2     a3  a2 b3 − a3 b2     a1 a × b =  −(a1 b3 − a3 b1 )  =  −  a3  a1 b2 − a2 b1  a  1 a2     b1    b3   b1   b2 b2 b3 を a と b の外積 outer product 2 と呼ぶ．内積とは異なり，外積はベクトル値で得られることに注意である．これによって得られたベクトル c = a × b は次のような性質を持つ： • c は a, b 共に直交する． • c の向きは a から b に右ねじを回した時の進行方向（文章だと分かりづらいので板書で解説する）． • |c| は a と b の作る平行四辺形の面積に等しい．更に a × b = − b × a が成り立つことも容易に確かめられる．さて，2 次元の場合は平行四辺形の面積が行列式と関連付けられたが，3 次元の場合も同様である．具体的には次が成り立つ．命題 3 つの 3 次元ベクトル a, b, c の作る平行六面体の体積は V = |det(a b c)|（3 つのベクトル a, b, c を並べた 3 次正方行列の行列式の絶対値）で得られる．証明は V = (a × b) · c と書けることに気付けば容易である．上の命題において，行列式の正負は外積 a × b と c が同じ側にあるかどうかを表している．以上のような空間的理解は，一般の n 次元ベクトル空間を理解する上で重要となる．特に後期ではベクトル空間の基底 basis を学ぶが，普段使っている xy 座標のように直交していた方が計算しやすい・理解しやすいといった事情もある．そのような際に内積・外積の考え方は非常に重要である． 2 または exterior product とも呼ぶ． 3