線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法

正規直交基底
シュミットの直交化法
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線形代数学 II - b
09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
土屋和由
基礎・教養教育センター
2015 年 11 月 26 日
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 標準基底の一般化
部分空間に対する研究は，その基底を考えることにより，行列・行
列式の理論を適用可能となる．
数ベクトル空間に関しては，標準基底を考えることが有用である．
「長さが 1 で，互いに直交する」という性質が，標準基底が有用
である一つの理由となる．
一般の部分空間に対しても同様の性質を有する基底を考えられな
いか？
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 標準基底の一般化
部分空間に対する研究は，その基底を考えることにより，行列・行
列式の理論を適用可能となる．
数ベクトル空間に関しては，標準基底を考えることが有用である．
「長さが 1 で，互いに直交する」という性質が，標準基底が有用
である一つの理由となる．
一般の部分空間に対しても同様の性質を有する基底を考えられな
いか？
.
本日の目標
.
標準基底の一般化である「正規直交基底」を理解する．
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与えられた基底から，正規直交基底を構成する方法を理解する．
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 正規直交基底
.
Definition (正規直交基底)
.
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．今，
1. |ai | = 1,
i = 1, . . . , r .
2.
a1 , . . . , ar は互いに直交する（すなわち i ̸= j ⇒ (ai , aj ) = 0）．
を満たすとき，
a1 , . . . , ar を V の正規直交基底と呼ぶ．
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 正規直交基底
.
Definition (正規直交基底)
.
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．今，
1. |ai | = 1,
i = 1, . . . , r .
2.
a1 , . . . , ar は互いに直交する（すなわち i ̸= j ⇒ (ai , aj ) = 0）．
を満たすとき，
a1 , . . . , ar を V の正規直交基底と呼ぶ．
.
{
1
注 δij =
0
このとき，
i =j
i ̸= j
と定義する．δij をクロネッカーのデルタと呼ぶ．
a1 , . . . , ar は V の正規直交基底 ⇔ 任意の i, j に対して，(ai , aj ) = δij
が成立する．
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 数ベクトル空間の正規直交基底
.
Theorem (数ベクトル空間の正規直交基底)
.
a1 , . . . , an ∈ Rn を Rn の基底とする．このとき，以下は同値：
. a1 , . . . , an は V の正規直交基底．
1
.
. A = (a1 , . . . , an ) は直交行列（t AA = En ）．
2
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 数ベクトル空間の正規直交基底
.
Theorem (数ベクトル空間の正規直交基底)
.
a1 , . . . , an ∈ Rn を Rn の基底とする．このとき，以下は同値：
. a1 , . . . , an は V の正規直交基底．
1
.
. A = (a1 , . . . , an ) は直交行列（t AA = En ）．
2
例
実数 θ に対して，
(
)
(
)
cos θ
− sin θ
a1 =
, a2 =
sin θ
cos θ
は R2 の正規直交基底．
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 数ベクトル空間の正規直交基底
.
Theorem (数ベクトル空間の正規直交基底)
.
a1 , . . . , an ∈ Rn を Rn の基底とする．このとき，以下は同値：
. a1 , . . . , an は V の正規直交基底．
1
.
. A = (a1 , . . . , an ) は直交行列（t AA = En ）．
2
例
実数 θ に対して，
(
)
(
)
cos θ
− sin θ
a1 =
, a2 =
sin θ
cos θ
は R2 の正規直交基底．
(a1 , a2 ) = R(θ)：回転行列は直交行列．
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 数ベクトル空間の正規直交基底
.
Theorem (数ベクトル空間の正規直交基底)
.
a1 , . . . , an ∈ Rn を Rn の基底とする．このとき，以下は同値：
. a1 , . . . , an は V の正規直交基底．
1
.
. A = (a1 , . . . , an ) は直交行列（t AA = En ）．
2
例
実数 θ に対して，
(
)
(
)
cos θ
− sin θ
a1 =
, a2 =
sin θ
cos θ
は R2 の正規直交基底．
(a1 , a2 ) = R(θ)：回転行列は直交行列．
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 一般の部分空間の場合の例
例 

1
a =  1  , V = ⟨a⟩ とおく．
−1
.
土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 一般の部分空間の場合の例
例 

1
a =  1  , V = ⟨a⟩ とおく．
−1
a は V の基底であるが，正規直交基底ではない（|a| =
.
土屋和由
.
√
3）．
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 一般の部分空間の場合の例
例 

1
a =  1  , V = ⟨a⟩ とおく．
−1
√
a は V の基底であるが，正規直交基底ではない（|a| = 3）．


1
1
1 
1  は |b| = 1 より，V の正規直交基底となる．
b=
a= √
|a|
3
−1
.
土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 一般の部分空間の場合の例
例 

1
a =  1  , V = ⟨a⟩ とおく．
−1
√
a は V の基底であるが，正規直交基底ではない（|a| = 3）．


1
1
1 
1  は |b| = 1 より，V の正規直交基底となる．
b=
a= √
|a|
3
−1
二次元以上の場合は？
.
土屋和由
.
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 一般の部分空間の場合の例
例 

1
a =  1  , V = ⟨a⟩ とおく．
−1
√
a は V の基底であるが，正規直交基底ではない（|a| = 3）．


1
1
1 
1  は |b| = 1 より，V の正規直交基底となる．
b=
a= √
|a|
3
−1
二次元以上の場合は？
.
問
.
V を a1 , . . . , ar を基底とする Rn の部分空間とする．このとき，a1 , . . . , ar か
′
′
ら，
V の正規直交基底 b1 , . . . , br を与える方法を求めよ．
.
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土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 平面上の内積と平面上の直交化
平面上の内積の幾何学的意味
(x, y) =
|x||y| cos θ
.
土屋和由
.
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 平面上の内積と平面上の直交化
y
平面上の内積の幾何学的意味
(x, y) = |x||y| cos θ
= |x| · OH
H
′
|x| cos θ
′
= |y| · OH .
θ
O
.
土屋和由
.
x
H
|y| cos θ
.
.
.
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 平面上の内積と平面上の直交化
y
平面上の内積の幾何学的意味
(x, y) = |x||y| cos θ
= |x| · OH
H
′
|x| cos θ
′
= |y| · OH .
θ
O
x
H
|y| cos θ
平面上の基底の直交化
′
b1 =
1
a1 .
|a1 |
′
′
b2 = a2 − (a2 , b1 )b1 .
′
b2 =
′
1
b2 .
|b2 |
′
b1 , b2 は R2 の正規直交基底．
土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. 空間内の直交化
空間内の基底の直交化
′
1
b1 =
a1 .
|a1 |
′
′
′
′
b2 = a2 − (a2 , b1 )b1 .
′
1
b2 =
b2 .
|b2 |
′
′
b3 = a3 − (a3 , b1 )b1 − (a3 , b2 )b2 .
′
1
b3 =
b3 .
|b3 |
′
′
′
b1 , b2 , b3 は R3 の正規直交基底．
.
土屋和由
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法
正規直交基底
シュミットの直交化法
. シュミットの直交化法
.
Theorem (シュミットの直交化法)
.
V を a1 , . . . , ar を基底とする Rn の部分空間とする．今，
′
(1) b1 =
1
a1 .
|a1 |
′
′
′
′
1
b2 .
|b2 |
′
(2) b2 = a2 − (a2 , b1 )b1 ,
b2 =
′
′
(3) b3 = a3 − (a3 , b1 )b1 − (a3 , b2 )b2 ,
′
b3 =
..
.
(r) br = ar −
r −1
∑
′
′
(ar , bi )bi ,
′
br =
i=1
′
1
b3 ,
|b3 |
1
br .
|br |
′
とすると，
b1 , . . . , br は V の正規直交基底となる．
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土屋和由
.
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線形代数学 II - b 09. 正規直交基底とシュミットの直交化法

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