補足プリント8：ポアソン分布の期待値と分散

補足プリント８：ポアソン分布の期待値と分散
松井宗也南山大学経営学部
平成 27 年 5 月 10 日
離散分布で重要なものは２項分布とポアソン分布である。ここではポアソン分布の期待と分散、２
項分布との関係にについて説明する。２項分布の期待値と分散は教科書 p.96 の 4.5 数学補足を参考に
せよ。
1
期待値・分散
期待値 E(X) と分散 V (X) を考える。指数関数 ex の級数表現
∞
ex = 1 + x +
∑ xk
x2
xk
+ ··· +
+ ··· =
2!
k!
k!
k=0
k
を予備知識とする。（x は任意の実数。）すると P (X = k) = e−µ µk! が確率関数となっていることは
∞
∑
P (X = k) =
k=0
∞
∑
k=0
∞
µk
∑ µk
e−µ
= e−µ
= e−µ eµ = 1
k!
k!
k=0
より分かる。期待値は級数表現を用いて
∞
∞
∞
∑
∑
∑
µk −µ
µk−1 −µ
µk −µ
E[X] =
k e =µ
e =µ
e =µ
k!
(k − 1)!
k!
k=0
k=1
k=0
となり、分散は
V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 =
∞
∑
k=0
k2
∞
∞
k=0
k=0
∑
∑ µk
µk −µ
µk
e − µ2 =
k(k − 1) e−µ +
k e−µ − µ2
k!
k!
k!
∞
∑
µk−2 −µ
2
=µ
e + µ − µ2 = µ2 + µ − µ2 = µ
(k − 2)!
k=2
となる。期待値と分散は等しく E[X] = V [X] = µ となることに注意する。
1
2
２項分布のポアソン近似
２項分布 B(n, p) に従う確率分布は n が非常に大きいときポアソン分布で近似できる。２項分布の
期待値 np を µ とおくと２項分布は B(n, µ/n) に従うと考えられるからその確率関数は、
( µ )k (
k!
µ )n−k
1−
n!(n − k)! n
n
k
µ )−k (
µ )n
µ n(n − 1) · · · (n − k − 1) (
1
−
1
−
=
k!
n
n
nk
(
)
(
) (
)
(
)
k
−k
1
2
µ
µ
−µ n
1 1−
1−
··· 1 −
=
1+
k!
n
n
n
n
P (X = k) =
と書ける。ここで n → ∞ とすると、公式
ex = lim (1 + x/n)n
n→∞
で x = −µ と置くなどして、右辺は P (X = k) =
1 k −µ
k! µ e
2
に収束することが分かる。

Download Report