離散型確率分布

超幾何分布とポアソン分布

超幾何分布

ポアソン分布
超幾何分布(Hypergeometric distribution)
定義：母集団がN個の要素を持ち、ある属
性を持つ要素がそのうちM個あるとする。
この母集団からn個の要素を取り出したと
き（非復元抽出）、その属性を持つ要素がx
個含まれている確率が超幾何分布で表さ
れる。
 N:母集団の要素の数
 M:ある属性を要する要素の数
 n=標本の大きさ

超幾何分布の確率関数

確率関数
P( X  x ) 
M
Cx 
N

範囲：
N M
Cn  x
Cn
max(0, n  N  M )  x  min(M , n)
M/N=pとすれば

期待値：   np
分散：  2  np(1  p)( N  n) / ( N  1)
超幾何分布と二項分布の関係

P=M/Nを一定に保ちつつ、Nを大きくすれば、超幾何分
布は二項分布に近づく。
N!
( N )n

n !( N  n)!
n!
M!
( Np)!
( Np) x
C



M
x
x !( M  x)! x !( Np  x)!
x!
( N  M )!
( Nq )!
C


N M
n x
(n  x)!( N  M  n  x)! (n  x)!( Nq  n  x )!
( Nq) n  x
=
(n  x)!
N Cn 

と書き直すと
n!
( Np) x( Nq)n  x
p ( x) 
x !(n  x)!
( N )n
超幾何分布と二項分布の関係
ところが
( Np) x( Nq)n  x

( N )n
したがって
p( p 
1
x 1
1
n  x 1
)  ( p 
)q(q  )  (q 
N
N
N
N
1
n 1
1(1  )  (1 
)
N
N
x n x
p
 q
N 
p( x)  n Cx p x q n  x
N 
p一定　練習問題１ (p87)

山にいる猿500匹のうち、100匹に標識をつけてから
自然に返されてある。いま山から猿を５匹取ったとき、
そのうち標識が付いた猿が0匹である確率はどれくら
いか。また、1匹の場合はどれほどか。
[解説] ここで、N=500,M=100,n=5として計算すると、0匹である確率は
練習問題2

20 個の飴が入った箱があるとする。20 個のうち 8 個は赤
色で、12 個は黄色である。この箱から 4 個の飴を無作為
に抽出するとき、その中の 1 個が赤色である確率を求めよ
う

解答：
ポアソン分布(Poisson distribution)
ｎが大きいが、Pが小さいとき、Xの確率分布を二項
分布から求めることは困難である。
 定義
 パラメータと期待値と分散
 二項分布とポアソン分布の比較
定義

npが→λとなるように、n→∞のとき、p→０となっ
た極限では、各ｘについて
P( X  k )n Ck p (1  p)
k
n k
 x
→
e 
P( X  x) 
x!
が成り立つ。
この分布をポアソンと呼び、Po(λ）で表す。
eは自然対数の底で、e＝2.71828・・・・
証明：
n  　のとき ,   np, p
k
n
Ck p q
nk

e   k

,　(q  1  p )
k!
n
n!

 

    1  
k !(n  k )!  n  
n
k
lim n Ck p k q n  k
n 
=
1 n( n  1)    ( n  k  1)

 k 
k
k!
n
n  　のとき ,
lim (1 
n 

n
(1 
(1 

n

)n
)k
n
n(n  1)    ( n  k  1)
n ( n  1)
( n  k  1)





1
k
n
n
n
n
)n  e  より ,  n  　のとき ,
nk
Ck p q
k
n
e  k
即ち,　P ( x  k ) 
k!
( 1nk

n
)n  e , (1 
e  k

k!

n
)k  1
超幾何分布とポアソン分布

P=M/Nが小さく、ｎが大きいとき、超幾何分
布は次のようにポアソン分布で近似するこ
とができる。
e 
P( x) 
x!
N 

x
ポアソン分布の
パラメータ、期待値、分散

パラメータ：λ=np

期待値：

分散：
 
 
2
二項分布とポアソン分布の近似（１）
図5.6　二項分布（n=50,P=0.3)
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 46 49
二項分布とポアソン分布の近似（２）
図5.7　ポアソン分布(n=50,P=0.3,λ=15）
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 46 49
二項分布と超幾何分布とポアソン分布の関係
（N =50, M = 30, n=15, p = 0.3)
0.3
0.25
ポアソン分布
0.2
超幾何分布
二項分布
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 45 47 49
例題：P103,③

解説：2時間の間に釣った魚の数Xは
λ=np=2×2=4のポアソン分布に従う。
e 
 e 4  0.02
 ① P ( X  0) 
0!
4 0

② P( X  4)  e   0.195
4!
4 4
解説

③
P( X  4)  ?
参考：
e
4
1
 4  0.0183
e

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