ユニバーサル横メルカトール図法(1) • 特徴 – 投影誤差は5/10,000程度 – 西経180°を基準とし，東 に向かって全世界を経度 6°きざみで60のゾーンに 分割，各ゾーンは北緯 84°～南緯80°を緯度8°き ざみで22区間に分割 – 日本は第51帯～56帯 170km 180km 180km 170km 拡大 縮小 投影面 縮小 拡大 東 0.9996 1.0006 地表面 1.0000 m: 縮尺係数 – 赤道上に原点を持つ平面直交座標系 – 投影法は，Gauß-Krüger投影法 – 1つの系で赤道上で最大東西700kmをカバー 平成27年度都市環境学科測量学 54 ユニバーサル横メルカトール図法(2) 平成27年度都市環境学科測量学 55 ユニバーサル横メルカトール図法(3) 平成27年度都市環境学科測量学 56 ユニバーサル横メルカトール図法(4) T S R 平成27年度都市環境学科測量学 57 北 • 測量で扱う「北」には3種類ある – 真北(True North): 自転軸の北 • その地点を通る子午線の北極方向．北極星の方向 – 座北(Grid North): 地図上の北 • 地図上でY=const.の方向．座標原点を含む子午線上でのみ 真北と一致する．真北とのずれを子午線収差といい，Yが大 きいほど大きくなる． – 磁北(Magnetic North): 磁石の示す方向 • 真北との西向きのずれを偏角という．場所により異なり，ま た時間により変化する． 平成27年度都市環境学科測量学 58 偏角の近似式 • 磁気偏角を近似的に求める公式(2010年版) – ϕ を緯度，λ を経度とする． – ∆ϕ = ϕ -37°N，∆λ = λ -138°Eとおくと，偏角Dは， – (例)東京は，北緯35度41分，東経139度42分 – ∆ϕ = 35.°68-37°=-1.°32，∆λ = 139.°70-138°=1.°70 D=7°03.'2 ≈7° 北海道では，8～9°，九州は，5～6° 平成27年度都市環境学科測量学 59 磁気偏角の観測値(1) 9° 9° 10° 10° 10° 黒字・黒線: 観測値 9° 赤字・赤線: 近似式 10° 8° 7° 9° 9° 9° 9° 8° 7° 8° 9° 9° 8° 8° 8° http://p.tl/nwFE 平成27年度都市環境学科測量学 60 磁気偏角の観測値(2) 9° 5° 8° 9° 8° 4° 5° 8° 8° 4° 沖縄 黒字・黒線: 観測値 8° 8° 8° 8° 8° 8° 8° 8° 7° 赤字・赤線:近似式 7° 7° http://bit.ly/L1JZ3V 7° 平成27年度都市環境学科測量学 61 磁気偏角の観測値(3) 8° 黒字・黒線: 観測値 赤字・赤線: 近似式 7° 7° 7° 7° 6° 7° 7° 7° 7° 6° 6° 6° 6° 6° 6° http://bit.ly/L1JZ3V 平成27年度都市環境学科測量学 62 方位角と方向角 • 点 P における種々の角 N 真北 X 座北 – ①点 Q の方位角: 点 P に おける真北の方向から右回 りに測った点 Q に対する角 – ②点 Q の方向角: 点 P に ① おける座北の方向から右回 M 磁北 ② りに測った点 Q に対する角 – ③点 R から点 Q への方向 角: 点 R の方向から右回り 点P に測った点 Q に対する角 点R ③ 点Q 子午線収差 平成27年度都市環境学科測量学 63 水平位置の基準 • 測量法施行令第2条 – 日本経緯度原点の地点及び原点数値 • 地点 東京都港区麻布台2丁目18番1地内日本経緯度原 点金属標の十字の交点 Ν 筑波基準点 • 原点数値 次に掲げる値 – 経度 東経139度44分28秒8759 – 緯度 北緯35度39分29秒1572 – 原点方位角 32度20分44秒756 （上記地点において真北を基準と して右回りに測定した茨城県つく ば市北郷一番地内つくば超長基 線電波干渉計観測点金属標の十 字の交点の方位角．図のΘ） Θ 日本経緯度原点 平成27年度都市環境学科測量学 64 高さの基準 地表面 • 標高: ジオイド面上のある点(G)から地表面(A)まで，ジ オイド面に垂直にのばした線分の長さ • ジオイド高: ジオイド面上のある点(G)から回転楕円体 面(B)まで垂直に伸ばした線分の長さ – AGとBGはほぼ平行で，両者の長さの和を楕円体高という 変動する東京湾の海面の平均高さ(中等海面)を標高ゼロとし，こ れより三宅坂記念公園の水準原点の標高を21.4140mとしている． 平成27年度都市環境学科測量学 65 日本近傍のジオイド高 20m 30m 10m 30m 20m 20m 30m 40m 平成27年度都市環境学科測量学 66 国家基準点 • 国家基準点: 19の座標系の原点と北の方向のみを与え られただけでは地形図を作製することが不自由であるので， 地表面をカバーするように，国土地理院の基本測量により定 められている． – 三角点: 一等三角点 二等三角点 三等三角点 四等三角点 976 5,063 32,110 70,769 – 水準点: 基準水準点一等水準点二等水準点 85 14,422 3,340 – 電子基準点: 1,240基 (2012年6月1日現在) このほかに，公共測量の成果なども多数存在する 平成27年度都市環境学科測量学 67 国家基準点の外観 • 三角点 ● • 電子基準点 水準点 高さ5mのステンレス製のタワーにGNSS衛星からの 電波を受信するアンテナと受信機が内蔵された構造 http://bit.ly/L1S60b 平成27年度都市環境学科測量学 68 一等三角点の例(鴛泊) http://bit.ly/L1Ue8i 平成27年度都市環境学科測量学 69 一等三角点の記 (鴛泊上半分) 平成27年度都市環境学科測量学 70 一等三角点の記 (鴛泊下半分) 平成27年度都市環境学科測量学 71 平面三角形の辺と角の関係 • 正弦則 • 余弦則 • 無名則(よく使う) • 無名則※次ページ 平成27年度都市環境学科測量学 72 面積についての公式の証明(1) h x a-x 平成27年度都市環境学科測量学 73 面積についての公式の証明(2) h x a-x 平成27年度都市環境学科測量学 74 測定値の処理 • 測量で計測するもの: – 長さ – 角度 – 高低差 巻き尺，光波測距儀と反射鏡 トランシット レベルとスタッフ • いずれも誤差が含まれ，計算結果にも伝播する • 誤差の処理 – 誤差理論(theory of errors) 誤差の性質の理解 – 誤差伝播理論(error propagation theory) – 最小自乗法(method of least square) 誤差の調整法 平成27年度都市環境学科測量学 75 誤差理論 • 測定の分類 – 性格による分類 • 独立(な)測定: 測定値がある条件を満たさなければならな いなどの拘束や制約を持たないで独立して行う測定 • 条件(付き)測定: 三角形の3つの内角の和のように，個々 の測定値間に満たすべき条件式が存在する場合の測定 – 方法による分類 • 直接測定: 距離や角度などを機器を用いて直接行う測定 • 間接測定: 求めるべき量を直接測定するのではなく，他の 測定値を計算式に代入することによって間接的に行う測定 平成27年度都市環境学科測量学 76 測定の例 性格 方法 独立測定 ①巻き尺で2点間の 直接測定 距離を直接測る 条件測定 ③三角形の3つの内角を 測定する． が条件式 ②塔までの水平距離 d と先端の高度角(仰 ④ ②と同じ測定を別の地 角) θ を直接測定して， 点からも行うと， 間接測定 間接的にその高さ という条件がつく． を求める． 平成27年度都市環境学科測量学 77 精度による測定の分類 • 等精度: – 測定された値に含まれる誤差の生ずる確率が 等しいと考えられる測定 • 異精度: – 測定に用いた機器の性能が異なっていたり，測 定回数が異なる測定値の平均値を用いたりし て，測定値に含まれる誤差の確率が異なると考 えられる測定 平成27年度都市環境学科測量学 78 誤差の分類(1) • 定誤差(系統誤差)(systematic error) – 原因が明らかで，ある条件の下では常に一定の質 と量で生ずる誤差 • 測定者のくせによるもの，機器に固有なもの，温度上昇 による膨張などの物理的なものなどがある． • 原因と特性を究明すれば理論的に除去が可能 • 過誤誤差(mistake) – 測定者の不注意によって生ずる誤り • 目盛りの読み違い，記帳や計算の誤りなどがある． • 十分に注意するかデータチェックにより除去が可能 平成27年度都市環境学科測量学 79 誤差の分類(2) • 偶然誤差(random error) – 原因が明らかでなく，定誤差や過誤誤差を取 り除いてもなお残る小さな誤差で，符号や大 きさがランダムなもの． • 理論的に真値に接近させることが可能 • 誤差理論の対象となる誤差 • 測量でいう誤差とは，この偶然誤差のこと 平成27年度都市環境学科測量学 80 誤差の法則 • 偶然誤差についての3法則 – ① 絶対値の小さな誤差の生ずる確率は，絶対値 の大きな誤差の生ずる確率より大きい． – ② 絶対値の等しい正負の誤差は同じ回数だけ 生ずる． – ③ 絶対値の非常に大きな誤差はほとんど生じな い． 以上の3法則から正規分布(Gauß分布，誤 差分布ともいう)の数式を導くことができる． 平成27年度都市環境学科測量学 81 誤差と残差 • 1つの値を n 回測定したとする． – 測定値(観測値): x1 , x2 , x3 ,L, xi ,L, xn – 真値(true value): X 神のみぞ知る値 – 真値の推定値: X 0 • 毎回の測定値に対し – 誤差: ε i = xi − X – 残差: vi = xi − X 0 • 最小自乗法: S = ∑ v i → min となるように，観測 値を調整する技術． X の推定値 X 0 を求める． 2 平成27年度都市環境学科測量学 82 最確値 • 誤差の法則②より，無限回観測した誤差の和: – ∑ ε i = ∑ ( xi − X ) = ∑ xi − nX = 0 ∑ xi n = ∞ のときのみ正しい． – よって， X = n 2 n – 実際は， は有限なので，S = ∑ vi → min とする． n n – ここで， S = ∑ v = ∑ ( xi − X 0 ) ゆえ， S = S ( X 0 ) i =1 2 i 2 i =1 dS = ∑ ( xi − X 0 ) = ∑ xi − nX 0 =0 となり， – 結果は，− 2dX 0 X0 = ∑ xi n 真値の推定値を平均値とする根拠 最確値(most probable value) 平成27年度都市環境学科測量学 83 最確値と残差平方和の関係の例 S 20 10 0 25 25.91 26 27 X0 n = 10の測定値 x1 = 26.48 x2 = 25.13 x3 = 26.71 x4 = 26.75 x5 = 25.89 x6 = 25.64 x7 = 26.03 x8 = 25.37 x9 = 26.00 x10 = 25.11 ∑ xi =-------25.91 n 平均値 平成27年度都市環境学科測量学 84 度数(ヒストグラム) j 1 2 3 4 5 6 7 8 階級 xi. 度数 22.0 ～ 22.5 2 22.5 ～ 23.0 6 23.0 ～ 23.5 17 23.5 ～ 24.0 19 24.0 ～ 24.5 27 24.5 ～ 25.0 18 25.0 ～ 25.5 8 25.5 ～ 26.0 3 100 合計(n) 度数 ある量を n 回測定し，測定値 xi の m 個の階級ごとに度数を調 べてグラフを描いた． fj n = 100 m=8 m ∑ fj = n j =1 f2 fm f1 1 2 j m 階級 平成27年度都市環境学科測量学 85 相対度数 j 1 2 3 4 5 6 7 8 相対 階級 xi. 度数 22.0 ～ 22.5 0.02 22.5 ～ 23.0 0.06 23.0 ～ 23.5 0.17 23.5 ～ 24.0 0.19 24.0 ～ 24.5 0.27 24.5 ～ 25.0 0.18 25.0 ～ 25.5 0.08 25.5 ～ 26.0 0.03 1.00 合計 相対度数 ヒストグラムのすべての度数 をn=100で割って， f j / n のよ うに相対化する． fj n fj ∑ =1 j =1 n m グラフのすべて の棒の高さを 合計すると1に なる． f j / n は，測 定値 xi が階 級 j に入る確 率を与える． f1 n 1 f2 n 2 fm n j m 階級 平成27年度都市環境学科測量学 86 測定値の連続分布 • 測定値の連続分布 – 測定回数を無限回，各階級の幅を無限小測定値の範 囲を無限大にした場合の相対度数を作成してみる． n→∞ m→∞ − ∞ < xi < ∞ X 0 (平均値) =(最確値) xi (測定値) 平成27年度都市環境学科測量学 87 誤差の連続分布(誤差曲線) • 誤差の連続分布 – 測定値 xi から最確値 X 0 を引くと残差 vi になるが，n 無限大なので，誤差 ε i と一致する． 法則①より，右 半分は右下がり 法則①より，左 半分は左下がり 法則③より， 0に漸近 法則③より， 0に漸近 ε i (誤差) 0 法則②より，左右対称 平成27年度都市環境学科測量学 88 誤差曲線の性質 • 誤差曲線を y = f (x) とする(横軸を x とする) – 関数の値(山の高さ)が確率を表すわけではない． – y ⋅ dx が相対度数，すなわち，誤差 x の値が区間 [ x, x + dx] に入る確率を表している． 相対度数ゆえ， y = f (x) f (x) は確率の 密度を表す． y dx 0 x x + dx x 確率密度関数 平成27年度都市環境学科測量学 89 離散型確率分布 • 確率変数 – 試行の結果によって，ある離散的な実現値をとる確率が定ま るような変数．サイコロを1度振ったときの目の数 X は， x1 = 1, x2 = 2,L, x6 = 6 のいずれかの実現値をとる確率変数． . • 確率関数 – 確率変数 X がある実現値 xi をとる確率 pi = P ( X = xi ) を表 す関数．サイコロの目が x1 = 1, L , x6 = 6 のいずれかの実現 値をとる確率 pi はすべて1/6． • 確率分布 – 確率変数 X とその値をとる確率 pi との対応を示したもので， すべての実現値 xi に対して確率関数 P が定まっている必要 がある． 平成27年度都市環境学科測量学 90 期待値・分散・モーメント(離散型) • 離散型確率変数 X が確率関数 pi (i = 1,2, L , n) の確 率分布にしたがうとき， n – 期待値(平均): x = E[ X ] = ∑ pi xi = p1 x1 + p2 x2 + L + pn xn i =1 – 分散: n σ 2 = V [ X ] = E[( X − x ) 2 ] = ∑ pi ( xi − x ) 2 i =1 – 標準偏差: σ = V [ X ] = E[( X − x ) 2 ] = – µ のまわりの k 次のモーメント: n n 2 p ( x − x ) ∑ i i i =1 E[( X − µ ) k ] = ∑ pi ( xi − µ )kk i =1 ・ 期待値: 原点のまわりの 1 次のモーメント ・ 分散: x のまわりの 2 次のモーメント 平成27年度都市環境学科測量学 91 離散型確率分布の例 • 1つのサイコロを振ったときの目 • 2つのサイコロを振ったときの目の合計 平成27年度都市環境学科測量学 92 連続型確率分布 • 確率変数 – 試行の結果によって，ある連続的な実現値の範囲をとる確率 が定まるような変数．針を投げて平らな地面に落ちたときに， 針先が向いている方位角 X が0°～90°になる確率は1/4． • 確率密度←連続型確率変数には確率関数はない – 確率変数 X のとる値が， a ≤ X ≤ b となる確率 P ( a ≤ X ≤ b) b を P ( a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x )dx で表したときの f (x) をいう． a • (累積)分布関数 – 確率密度 f (x) を，積分区間 (−∞, x] で積分したもの．確率 変数 X のとる値が x 以下になる確率を表し，下記のF (x) ． x F ( x) = P( X ≤ x) = ∫ f ( x)dx −∞ 平成27年度都市環境学科測量学 93 連続型確率分布の性質 ∫ a (1) P( X = a) = ∫ f ( x)dx = 0 b f ( x)dx a a ∞ (2) ∫ f ( x)dx = 1 −∞ (3) ∫ b a a b f ( x)dx = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P ( a ≤ X < b) = P ( a < X < b) (4) a ≤ b のとき F (a) ≤ F (b) (5) F (−∞) = 0, F (∞) = 1 F (a) = ∫ a −∞ f ( x)dx b (6) P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a 平成27年度都市環境学科測量学 94 期待値・分散・モーメント(連続型) • 離散型確率変数 X が確率密度 f (x) の確率分布に したがうとき， ∞ – 期待値(平均): x = E[ X ] = ∫ xf ( x)dx −∞ – 分散: ∞ σ = V [ X ] = E[( X − x ) ] = ∫ ( x − x ) 2 f ( x)dx 2 2 −∞ – µ のまわりの k 次のモーメント: ∞ E[( X − µ ) ] = ∫ ( xi − µ ) f ( x)dx k −∞ k n 離散型 k µ p ( x − ) ∑ i i i =1 ・ 期待値: 原点のまわりの 1 次のモーメント ・ 分散: x のまわりの 2 次のモーメント 連続型の時の f (x)dx 離散型の時の pi 平成27年度都市環境学科測量学 95 正規曲線(1) • 正規曲線 – 誤差の分布の確率密度を表す曲線は，正規曲線と 呼ばれる． – Gaußにより式の形が判明された(誘導はやや難) – h は精度指数と呼ばれ，精度が高いほど大きい． – 測定回数が無限大のときの誤差の自乗の平均を母 分散 σ 2 といい，その平方根 σ を母標準偏差という． 平成27年度都市環境学科測量学 96 正規曲線(2) • 正規曲線 – 結局，正規曲線は， と表すことができる． – 誤差 x は，測定値の単位をもっているので，x をσ で 割って無次元化(一般の変数にも適用→確率変数) – この t は，σ を単位として測られた誤差→標準単位 平成27年度都市環境学科測量学 97 標準正規分布(1) • 標準正規分布 – 誤差 x の生ずる確率(正確には，誤差の大きさが区 間 [x, x+dx] に入る確率)は， – 測定回数 n のうち，この区間に入る回数は，n Φ(x) – x =σ t，dx=σ dt ゆえ，誤差 x の生じる確率は， – となり，確率変数 t に対する確率密度関数は， 平成27年度都市環境学科測量学 98 標準正規分布(2) – 平均µ，分散 σ 2の 正規分布をN (µ, σ 2)と書く． – p(t)は，平均0，分散12の正規分布にしたがうので， N (0, 12)と書く→標準正規分布という． かつ – 誤差が -∞ から任意の点 x の間に落ちる確率を累 積正規分布関数という．→以下， F(x)と表す． 平成27年度都市環境学科測量学 99 確率積分 とおくと， I(t)は，図の斜線部 の面積となる．→ I(t)は，確率 積分と呼ばれ，数表になって いる． I(t) t 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 I(t) 0.19146 0.34134 0.43319 0.47725 0.49379 0.49865 0.49977 0.49997 P(t) 0.69146 0.84134 0.93319 0.97725 0.99379 0.99865 0.99977 0.99997 t 平成27年度都市環境学科測量学 100 重要な数値 • 数表より，下記の数値が得られる． – 標準正規分布の母標準偏差は 1 なので， | t | < 1となる確率 – N (0, σ 2)では， | x | < σ となる確率 -σ 0 σ x 平成27年度都市環境学科測量学 101 母集団と標本・中等誤差 母集団 データを n 個抽出 標本の n 個のデータを x1, x2, x3, … , xi, … , xn ，また， 1n X 0 = ∑ xi , vi = xi − X 0 とするとき， n i =1 1n 2 1n 2 s = ∑ vi , s = ∑ vi n i =1 n i =1 2 標本 • 母集団 – 情報を得たいと考え ている対象の全体 • 標本 – 母集団から抽出さ れた一部分 で，s2は標本分散，s を標本標準 偏差 とよび，測量学では特に s を中等誤差と呼ぶ． 1 n 2 σˆ = ∑ vi n − 1 i =1 2 は，母集団の分散の推定値とな り，不偏分散という． 平成27年度都市環境学科測量学 102
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