スライド

平成27年11月18日
＜学習内容＞
1. 確率
2. 順列と組み合わせ
3. 同じものを含む順列
4. 期待値
＜目的＞
指定された条件で確率や期待値を計算できるようになること。
又、順列と組み合わせの数え方を理解すること。
 確率とは
ある現象が起こる度合い、またはある事象が現れる割合のこと
 例）
 サイコロの1の目が出る確率
1/6
 赤球と白玉が1個ずつ入っている袋から赤玉を取り出す確率
一般に･･･
その事象の起こる数
確率 
全事象の数
1/2
その事象の起こる数
確率 
全事象の数
例１）サイコロを振って１または２の目が出る確率
 事象が起こる数⇒２全事象数⇒６
 確率＝2/6=1/3
例２）サイコロを2回振って、最初に１、2回目に２が出る確率
 事象が起こる数⇒１全事象数⇒6×6=36
 確率=1/36
【基礎課題6-1】
事象Aが起こる確率⇒P(A)
加法定理）
事象Bが起こる確率⇒P(B)
サイコロを振って１または２
の目が出る確率=
（事象Aと事象Bが同時に起こらない場合･･･） 1/6 + 1/6 = 1/3
事象Aまたは事象Bが起こる確率=P(A)+P(B)
乗法定理）
事象Aかつ事象Bが起こる確率=P(A)×PA(B)
PA(B)：事象Aが起こった条件下で事象Bが起こる確率
サイコロを2回振って最初に１、2回
目に２の目が出る確率=
1/6 × 1/6 = 1/36
【基礎課題6-2】、
【基礎課題6-3】
 問題 5 本のうち 2 本が当りのくじがあります。このとき、1回目のく
じで当たり、2回目のくじではずれになる確率を求めて下さい。
＜考え方＞
 事象A：1 回目のくじ引きで当りが出る
 事象B：2 回目のくじ引きで外れが出る
 確率=P(A)×PA(B)=2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10
①
②
（当たり+外れ）の組み合わせの数=6
その事象の起こる数
確率 
全事象の数
5本のくじから2本を選ぶ
選び方の数=20
【基礎課題6-4】
順列とは
 ｎ個のデータの集まりからｒ個を取り出して並べる場合の並べ方の総数
⇒
nPr と表す
 例１）１，２，３，４の4個の数字から4個の異なる数字を取り出して4けたの
数字を作る場合の順列
１桁目：4通り、２桁目：3通り、3桁目：2通り、1桁目：1通り
4P4=4×3×2×1=
 例２） 4P2
24 (通り)
= 4×3 =12
 一般に･･･
nPr
r個
= n×(n-1)×(n-2)×･･･×(n-r+1)
【基礎課題6-5】
r!=r×(r-1)×(r-2)×･･･×2×1
組み合わせとは
 ｎ個のデータの集まりからｒ個の組を取り出す方法の総数
⇒
nCr と
表す
 例）A,B,C,Dの４人のグループから二人一組のペアを作る時の組み合わ
せの総数。
 4人から二人を取り出す並べ方：
4P2=
4×3 =12
 それぞれのペアに対して、例えば(AB)、(BA)の二通りカウント
 そこで、
 一般に･･･
4C2
nCr
= 4P2/2 = 12/2 = 6
= nPr / r!= n×(n-1)×(n-2)×･･･×(n-r+1)
r!
 ｎ個の中に、同じものａがp個、ｂがq個、ｃがｒ個あるとする。この
とき、これらを全て使って一列に並べる並べ方は次の式で与えられる。
n!
p!q!r!
(n  p  q  r )
 例）赤玉が3個、白玉が2個あります。この5個を一列に並べる並べ方
は何通りありますか？
5!
5  4  3  2 1 5  4


 10
3!2! (3  2 1)(2 1)
2
 異なるｎ個のものから重複を許してｒ個とる順列
n×n×･･･×n = nr
r個
【基礎課題6-6】、
【基礎課題6-7】
【基礎課題6-8】
 次のような宝くじを考えます
1等
2等
賞金
5000円
2000円
本数
1
3
3等
はずれ
500円
0円
10
86
 このとき、賞金総額=5000×1+2000×3+500×10=16000（円）
 1枚当たりの賞金平均値=16000/100=160（円）⇒
次のようにも書ける
1等の確率
期待値
2等の確率
 期待値= 5000×(1/100)+2000×(3/100)+500×(10/100)
3等の確率
 【応用課題6-1】～【応用課題6-5】
明日（11月19日）18:00

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