放物線の通過領域 1 古∼い東工大の過去問

（放物線の通過領域
1 古∼い東工大の過去問）
1 t が範囲 0 < t ≦ 1 を動くとき，t とともに変化する放物線 y = 1
2
2
( x, y ) 全体の集合を図示せよ．
（放物線の通過領域
2
{
}
x(2 − x)
t+
が通る点
t
2 今年度の横浜国大の問題）
実数 a に対し，xy 平面上の放物線 C : y = (x − a)2 − 2a2 + 1 を考える．次の問いに答えよ．
(1) a がすべての実数を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
(2) a が −1 ≦ a ≦ 1 の範囲を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．
（放物線の通過領域 3 今年度の東京大学の問題）
3
正の実数 a に対して，座標平面上で次の放物線を考える．
1 − 4a2
4a
a が正の実数全体を動くとき，C の通過する領域を図示せよ．
C : y = ax2 +
(1 次分数型漸化式今年度の東工大の過去問より（一部略）)
4
数列 {an } を
4an − 9
( n = 1, 2, 3, · · · )
an − 2
で定める．数列 {an } の一般項を求めよ．
a1 = 5, an+1 =
(根岸先生流の解法 1 今年度の慶應大学の過去問より)
5 a を実数とする．絶対値を含む式 x − a x − a x − a は，以下の (1) と (2) のように 2 通りの解
釈が可能である．それぞれの解釈の下で，方程式
x − a x − a x − a = x − a
を考える．
(1) x − a x − a x − a を，絶対値 x − a と x の積から，a と絶対値 x − a の積を引いた値と
解釈する．このとき，上の方程式の実数解を
a を用いて小さい方から列挙すると
(
)
x = (キ) となる． (1) は講座では触れません
(2) x − a x − a x − a を x − a x − a x − a の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式
の実数解が 1 個となるための必要十分条件は a ≧ (ク) である．また，この方程式の実
数解が異なる 3 つの整数となるのは a = (ケ) のときである．
(3) (2) と同じ解釈の下で，上の方程式の実数解の個数が有限個であるための必要十分条件は
a ̸= (コ) である．a ̸= (コ) が必要条件であることの証明を書きなさい．
(根岸先生流の解法 2 昨年度の第 1 回高 1 全国模試より)
6 x の不等式
x − 2a > x + 6
を満たす正の整数の個数を N とする．
(1) N = 2 となるような a の値の範囲を求めよ．
(2) N ≧ 3 となるような a の値の範囲を求めよ．
(おまけ教科傍用問題集について一考察)
7 3 直線


 2x + 3y = 1
4x + y = 1


ax + by = 1
が 1 点で交わるとき，3 点 ( 2, 3 ), ( 4, 1 ), ( a, b ) は同一直線上にあることを証明せよ．

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