連続型 Minkowski の不等式

連続型 Minkowski の不等式
Minkowski の不等式は次のものが有名である.
定理 1 (Minkowski の不等式 (離散型))
測度空間 (X, A, µ), p ∈ [1, ∞] に対し, f, g ∈ L p (X) とする. このとき, f + g ∈ L p (X) であり, 次の不等式
が成り立つ.
|| f + g|| p ≤ || f || p + ||g|| p
fn ∈ L p (X) (n = 1, . . . , N) ならば, この不等式をくり返し用いて次の不等式が成り立つことが分かる.
N
N
∑
∑
fn ≤
|| fn || p
n=1 i=1
p
[証明]
∫
∫
p
f
(x)
+
g(x)|
dµ(x)
=
0
の場合は自明なので
,
|
| f (x) + g(x)| p dµ(x) , 0 の場合を考えれば十分. さらに,
X
X
p = 1, ∞ の場合も自明なので, p ∈ (1, ∞) の場合を考えれば十分.
q = p/(p − 1) により q ∈ (1, ∞) を定めると,
∫
∫
| f (x) + g(x)| p dµ(x) = | f (x) + g(x)| p−1 | f (x) + g(x)| dµ(x)
X
∫
∫X
≤ | f (x) + g(x)| p−1 | f (x)| dµ(x) +
| f (x) + g(x)| p−1 |g(x)| dµ(x)
X
X
∫
∫
p−1
1
p· p−1
p· 1p
p
= | f (x) + g(x)|
dµ(x) +
| f (x) + g(x)| p· p |g(x)| p· p dµ(x)
| f (x)|
X
(∫
X
)1/q (∫
≤
)1/p
| f (x)| dµ(x)
| f (x) + g(x)| dµ(x)
p
X
p
X
(∫
)1/q (∫
+
X
である. 両辺
(∫
(∫
X
| f (x) + g(x)| p dµ(x)
)1/p
|g(x)| p dµ(x)
| f (x) + g(x)| p dµ(x)
)1/q
(Hölderの不等式)
X
で割って, 1 − 1/q = 1/p を利用すると
)1/p (∫
)1/p (∫
)1/p
≤
+
| f (x) + g(x)| p dµ(x)
| f (x)| p dµ(x)
|g(x)| p dµ(x)
X
X
X
となって, これは求める不等式である. また, 次の不等式も成り立つ.
定理 2 (Minkowski の不等式 (連続型))
σ-有限測度空間 (X, A, µ), (Y, B, ν), p ∈ [1, ∞] に対し, f : X × Y → R は Y 上ほとんど至るところで
∫
L p (X) に属するとする. このとき, Y f (x, y) dν(y) ∈ L p (X) であり, 次の不等式が成り立つ.
∫
f (x, y) dν(y)
Y
∫
≤
L p (X)
|| f (x, y)||L p (X) dν(y)
Y
1
[証明]
p
p
∫ ∫
∫ ∫
dµ(x) , 0 の場合を考えれば十分.
f
(x,
y)
dν(y)
dµ(x)
=
0
の場合は自明なので
,
f
(x,
y)
dν(y)
X Y
X Y
さらに, p = 1, ∞ の場合も自明なので, p ∈ (1, ∞) の場合を考えれば十分.
q = p/(p − 1) により q ∈ (1, ∞) を定めると,
∫ ∫
∫ ∫
p
p−1 ∫
f (x, y) dν(y) dµ(x) = f (x, y) dν(y) f (x, y) dν(y) dµ(x)
X
Y
X
Y
Y
)
∫ ∫
p−1 (∫
≤ f (x, y) dν(y)
| f (x, y)| dν(y) dµ(x)
Y
Y
X
)
∫ (∫ ∫
p−1
f (x, y) dν(y) | f (x, y)| dν(y) dµ(x)
=
X
Y
Y
}
∫ {∫ ∫
p−1
f (x, y) dν(y) | f (x, y)| dµ(x) dν(y)
=
(Tonelli の定理)
Y
X
Y


∫ ∫ ∫
p· p−1


 
p | f (x, y)| p· 1p dµ(x)
f
(x,
y)
dν(y)
= 
dν(y)





Y
X
Y
(∫ ∫
)1/q (∫
)1/p 
∫ 
p






p
f
(x,
y)
dν(y)
f
(x,
y)|
≤ 
dµ(x)
dµ(x)
|


 dν(y)


X
Y
Y
X
(Hölderの不等式)
(∫ ∫
)1/q ∫ (∫
)1/p
p
p
f (x, y) dν(y) dµ(x)
=
dν(y)
| f (x, y)| dµ(x)
X
Y
Y
X
(∫ ∫
)1/q
p
である. 両辺 X Y f (x, y) dν(y) dµ(x)
で割って, 1 − 1/q = 1/p を利用すると
(∫ ∫
)1/p ∫ (∫
)1/p
p
p
f (x, y) dν(y) dµ(x)
≤
dµ(y)
| f (x, y)| dµ(x)
X
Y
Y
X
となって, これは求める不等式である. 定理 1 の不等式を「離散型 Minkowski の不等式」, 定理 2 の不等式を「連続型 Minkowski の不等式」と呼
ぶことにする.
離散形 Minkowski の不等式は連続型 Minkowski の不等式の特別な場合である. すなわち, 連続型 Minkowski
の不等式において Y = {1, . . . , N} として Y の各点に測度 1 を与えて考えれば, 離散形 Minkowski の不等式が
得られる.
Tonelli の定理は σ-有限測度空間においては成り立つが, 一般の測度空間では成り立たないことがある. 連続
型 Minkowski の不等式は証明の途中で Tonelli の定理を用いるので, 測度空間が σ-有限となっている.
なお, Rn 上 Lebesgue 測度で考えれば Tonelli の定理は成り立つので, 連続型 Minkowski の不等式も成り
立つ.
2

Download Report