Karlheinz Gröchenig Peter Elbau Partielle Differentialgleichungen Fakultät für Mathematik Universität Wien 18. März 2016 Übungsblatt 2 1. (a) Wiederholen Sie die Kettenregel aus der Analysis. (b) Sei u : R2 → R zweimal stetig differenzierbar und ψ : R2 → R2 gegeben durch (ξ, η) = ψ(x, t) = (x + t, x − t) und v(ξ, η) = u(x, t) = u ◦ ψ −1 (ξ, η). Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂u , ∂x ∂u , ∂y ∂ 2u ∂ 2u − 2 ∂x2 ∂t in (ξ, η)-Koordinaten. 2. Seien (x, y) = (r cos θ, r sin θ) die Polarkoordinaten in R2 und v(r, θ) = u(x, y). 2 2 Berechnen Sie den Laplace-Operator ∆u = ∂∂xu2 + ∂∂yu2 in Polarkoordinaten. 3. Sei u ∈ C 2 (Rd \ {0}) eine Radialfunktion, d.h., u hängt nur von r = kxk ab, u(x) = v(r) für eine Funktion v : R+ → R. Zeigen Sie, daß ∆u = (eigentlich: ∆u(x) = v 00 (kxk) + ∂ 2 u d − 1 ∂u + ∂r2 r ∂r d−1 0 v (kxk)) kxk gilt. 4. Die Koordinatentransformation von Differentialoperatoren kann sehr aufwendig sein. Im folgenden (schwierigen) Beispiel wird eine allgemeine Methode hergeleitet, die diese Aufgabe wesentlich erleichtert und die “nur” Kenntnisse der Analysis voraussetzt. Sei ψ : V → U ein C 2 -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen U, V ⊂ Rn und u ∈ C 2 (U ). Wir definieren die Funktion v = u ◦ ψ ∈ C 2 (V ). Wiederholen Sie den Begriff der Jacobi-Matrix Dψ von ψ. (a) Verwenden Sie den Gauß’schen Integralsatz und den Transformationssatz, um zu zeigen, daß für alle Funktionen w ∈ Cc1 (U ) die Identität Z ∆u(x)w(x)dx = U Z det D(ψ −1 )(x) div |det Dψ| Dv (Dψ)−1 (Dψ)−T (ψ −1 (x)) w(x)dx U gilt. 1 (b) Schließen Sie daraus, daß mit g = dψ T dψ die Beziehung 1 div |det dψ| Dv g −1 (y) |det dψ(y)| p 1 div =√ det g Dv g −1 (y) det g ∆u(ψ(y)) = erfüllt ist. 5. Wir betrachten die Transformation auf Kugelkoordinaten: ψ : (0, ∞) × (0, π) × (0, 2π) → {x ∈ R3 | x2 = 0 =⇒ x1 < 0},   r sin θ cos ϕ ψ(r, θ, ϕ) =  r sin θ sin ϕ  . r cos θ Sei u ∈ C 2 (R3 ). Zeigen Sie mithilfe von Aufgabe 4, daß sich ∆u mit v = u ◦ ψ in der Form ∆u ◦ ψ = 1 1 1 ∂r (r̂2 ∂r v) + ∂θ (sin θ̂ ∂θ v) + ∂ϕϕ v 2 2 2 r̂ r̂ sin θ̂ r̂ sin2 θ̂ schreiben läßt. Dabei bezeichnen r̂ und θ̂ die Funktionen r̂(r, θ, ϕ) = r und θ̂(r, θ, ϕ) = θ. Leiten Sie daraus noch einmal das Ergebnis von Aufgabe 3 ab. —– 2