42 Drehungen und Spiegelungen
42
183
Drehungen und Spiegelungen
42.1 Orthogonale Matrizen. a) Eine Matrix O ∈ Rn×n heißt orthogonal, Notation: O ∈ On (R) , falls O ⊤ O = I gilt, d. h. falls die Spalten von O orthonormal
sind. Aufgrund von Folgerung 11.7 gilt dann auch OO ⊤ = I , d. h. auch O ⊤ = O −1
ist orthogonal, und auch die Zeilen von O sind orthonormal.
b) Wegen Ox • Oy = O ⊤ Ox • y für x, y ∈ Rn ist O ∈ Rn×n genau dann orthogonal,
wenn
Ox • Oy = x • y
für alle x, y ∈ Rn
(1)
gilt, und aufgrund der Polarformel ist dies äquivalent zu
| Ox | = | x | für alle x ∈ Rn .
(2)
Orthogonale Transformationen respektieren also Längen und Winkel.
c) Für O ∈ On (R) gilt (det O)2 = det O ⊤ O = 1 , also det O = ±1 aufgrund von
Satz 14.9. Für Eigenwerte λ ∈ σ(O) hat man ebenfalls λ = ±1 aufgrund von (2).
Nach Satz 40.7 sind Eigenvektoren zu +1 und solche zu −1 orthogonal.
!
a
42.2 Orthogonale (2 × 2) -Matrizen. Es sei
die erste Spalte der Matrix
b
O ∈ O2 (R) . Für
die zweite,!dazu orthogonale Spalte gibt es dann nur die Möglich!
−b
b
keiten
oder
. Wegen a2 + b2 = 1 hat man also
a
−a
O = Dα :=
cos α − sin α
sin α cos α
!
für det O = 1 oder
(3)
O = Sα :=
cos α sin α
sin α − cos α
!
für det O = −1 .
(4)
2
42.3 Drehungen der Ebene. Mit R ∋
x
y
!
↔ x + iy = z ∈ C hat man
!
x
Dα
↔ eiα z ; somit ist die Matrix Dα aus (3) als Drehung der Ebene R2 um
y
den Winkel α ∈ R anzusehen. Man hat Dα = I für α ∈ 2πZ und Dα = −I für
α ∈ π + 2πZ ; für alle anderen Winkel hat Dα keine reellen Eigenwerte.
42.4 Spiegelungen der Ebene. a) Für die Matrix Sα aus (4) ist
χSα (λ) = det
λ − cos α − sin α
− sin α λ + cos α
!
= λ2 − 1 = (λ − 1) (λ + 1) ,
d. h. Sα hat die Eigenwerte +1 und −1 . Es seien v+ , v− entsprechende orthonormale
Eigenvektoren; dann gilt also Sα v+ = v+ und Sα v− = v− , d. h. Sα ist als Spiegelung
an der Geraden [v+ ] zu interpretieren.
184
V. Lineare Algebra
b) Es sei eine Spiegelungsgerade
g = {y ∈ R2 | u • y = 0} mit u ∈ R2 und | u | = 1
gegeben. Für x ∈ R2 ist dann x − (x • u)u die orthogonale Projektion auf g , und
daher ist die Spiegelung von x an g gegeben durch
Sx = x − 2(x • u)u = x − 2uu⊤ x ,
x ∈ R2 .
Dies liefert die Formel
S = Sg = I − 2uu⊤ .
(5)
42.5 Spiegelungen des Rn sind analog zu (5) gegeben durch
S = I − 2uu⊤
mit u ∈ Rn und | u | = 1 .
(6)
Man hat S 2 = I , S ⊤ = S −1 = S , det S = −1 sowie Su = −u und Sy = y für
y ∈ [u]⊥ .
42.6 Drehungen des R3 . a) Eine Matrix D ∈ O3 (R) mit det D = 1 heißt Drehung.
b) Wegen det χD = 3 hat D einen reellen Eigenwert aufgrund von Satz 5.17. Wegen
det D = 1 muss λ1 = 1 ein solcher Eigenwert sein. Es sei v1 ∈ R3 ein Eigenvektor
mit Dv1 = v1 und | v1 | = 1 . Dann ist auch D ⊤ v1 = D −1 v1 = v1 , und E1 := [v1 ]⊥
ist unter D und D ⊤ invariant. Folglich ist D1 := D|E1 ∈ L(E1 ) orthogonal mit
det D1 = 1 . Nach 42.3 ist somit D1 eine Drehung der Ebene E1 und daher D eine
Drehung des Raumes R3 um die Achse [v1 ] .
c) Mit einer Orthonormalbasis v2 , v3 von E1 gilt dann
1
0
0
⊤
O DO = 0 cos α − sin α
0 sin α cos α
für O = (v1 v2 v3 ) ∈ O3 (R) .
(7)
42.7 Spuren. a) Es sei K = Q , R , C . Für eine Matrix A = (aij ) ∈ Kn×n wird die
Spur definiert als Summe der Diagonalelemente
tr A :=
n
P
i=1
(8)
aii .
b) Für B = (bij ) ∈ Kn×n hat man
tr(AB) =
n
P
i,j=1
und insbesondere ist
aij bji = tr(BA) ,
tr A = tr(S −1 AS) ,
S ∈ GLK (n) ,
(9)
(10)
invariant gegen Ähnlichkeitstransformationen.
c) Im Fall K = C ist aufgrund von Theorem 37.4 bzw. Theorem 37.10
tr A =
n
P
i=1
λi
(11)
die Summe der Eigenwerte von A .
d) Für eine Drehung D ∈ O3 (R) gilt nach (7), (8) und (10)
tr D = 1 + 2 cos α ,
woraus man den Drehwinkel α berechnen kann.
(12)
© Copyright 2024 ExpyDoc
