Tutorium 11: Basiswechel, Ähnlichkeit, Äquivalenz von Matrizen

Tutorium 11: Basiswechel, Ähnlichkeit, Äquivalenz von Matrizen
1.Determinante
Sei K ein Körper , n ∈ N, A ∈ K n×n , dann ist die Determinante von A deniert als
det(A) =
X
sign(σ)
σ∈Sn
Oft lässt sich die Determinante leichter mit der
det(A) =
n
Y
ai,σ(i)
i=1
Laplaceentwicklung berechnen:
n
X
(−1)j+k ak,j · det(Ak,j )
j=1
Dabei bezeichnet Ai,j die Matrix, die durch das Streichen der i-ten Zeile und der j -ten Spalte von A
entsteht. k kann in der Formel beliebig zwischen 1 und n gewählt werden.
2. Eigenschaften der Determinante
Seien A, B ∈ K n×n
• det(A) 6= 0 ⇐⇒ A ist invertierbar ⇐⇒ Die Menge der Zeilenvektoren von A ist linear unabhängig⇐⇒
Die Menge der Spaltenvektoren von A ist linear unabhängig⇐⇒ Rang(A) = n ⇐⇒ das Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar für alle x ∈ K n
• Ist A invertierbar, so gilt: det(A−1 ) = det(A)−1
• det(A · B) = det(A) · det(B)
• det(A) = det(AT )
• Für λ ∈ K : det(λ · A) = λn · det(A)
• Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente
a b
• det(
) = ad − bc
c d


a b c
)
• det(d e f ) = aei + bf g + cdh − af h − bdi − ceg (
g h i
Regel von Sarrus
• Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn man das Vielfache einer Spalte zu einer
anderen addiert
• Die Determinante einer Matrix wechselt ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen miteinander ver-
tauscht

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