Merkzettel „Integralrechnung“ II

Merkzettel „Integralrechnung“ II
09.04.2016
Grundlagen:
𝑥
Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig. Dann ist F(𝑥) = ∫𝑎 f(𝜉) 𝑑𝜉 auf [a,b] stetig differenzierbar, und es gilt: F ′(𝑥) =
1. HS:
𝑏
∫𝑎 f(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑 𝑥
∫ f(𝜉) 𝑑𝜉
𝑑𝑥 𝑎
= f(𝑥)
= F(𝑏) − F(𝑎) = F(𝑥) |𝑏𝑎
2. HS:
Sei 𝑓: 𝐼 → ℝ stetig, und F sei eine Stammfunktion von f. Dann gilt für 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼:
1. MWS:
Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig. Dann ∃𝜉[𝑎, 𝑏]: ∫𝑎 f(𝑥) 𝑑𝑥 = f(𝜉) (𝑏 − 𝑎)
2. MWS:
Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig und 𝜔: [𝑎, 𝑏] → ℝ integrierbar, und ω(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], ∫𝑎 ω(𝑥) 𝑑𝑥 > 0.
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
Dann ∃𝜉[𝑎, 𝑏]: ∫𝑎 f(𝑥) ω(𝑥) 𝑑𝑥 = f(𝜉) ∫𝑎 ω(𝑥) 𝑑𝑥
Grundintegrale:
𝑥 𝑛+1
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑛+1
𝑎𝑥
1
1
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑎 + 𝐶
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
+𝐶
∫ √𝑥2 +1 𝑑𝑥 = arsinh 𝑥 + 𝐶 = ln(𝑥 + √𝑥 2 + 1) + 𝐶
1
1
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
∫ cos² 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
∫ sinh 𝑥 𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝐶
∫ cosh 𝑥 𝑑𝑥 = sinh 𝑥 + 𝐶
∫ cosh² 𝑥 𝑑𝑥 = tanh 𝑥 + 𝐶
1
1
∫ 1−𝑥² 𝑑𝑥 = artanh 𝑥 + 𝐶 =
1
2
ln
1+𝑥
1−𝑥
1
1
∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶 (|𝑥| < 1)
1
∫ sinh² 𝑥 𝑑𝑥 = − coth 𝑥 + 𝐶
1
∫ √𝑥2 −1 𝑑𝑥 = arcosh 𝑥 + 𝐶 = ln |𝑥 + √𝑥² − 1| + 𝐶 (|𝑥| > 1)
∫ 1+𝑥² 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶
+ 𝐶 (|𝑥| < 1)
∫ sin² 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶
1
1
∫ 1−𝑥² 𝑑𝑥 = arcotanh 𝑥 + 𝐶 =
2
ln
𝑥+1
𝑥−1
+ 𝐶 (|𝑥| > 1) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶
Integrationsmethoden:
a) ∫ 𝑓′𝑔 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑓𝑔′ b) ∫ 𝑓 𝑛 𝑓 ′ 𝑑𝑥 … 𝑢 = 𝑓
𝑘
f) ∫ R (𝑥, √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑘
𝑑𝑥) … 𝑢 = √
𝑎𝑥+𝑏
c) ∫
f′ (𝑥)
f(𝑥)
𝑑𝑥 … 𝑢 = f(𝑥) d) ∫ R(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 … 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e) ∫ R(𝑒 𝑎𝑥 ) 𝑑𝑥 … 𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥
𝑥
2
2
1+𝑢2
g) ∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥 , tan 𝑥 , cot 𝑥) … tan = 𝑢; 𝑑𝑥 =
𝑐𝑥+𝑑
; sin 𝑥 =
2𝑢
1+𝑢²
; cos 𝑥 =
1−𝑢²
1+𝑢²
h) ∫ R(𝑥, √𝑎2 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 … 𝑥 = 𝑎 sinh 𝑢 i) ∫ R(𝑥, √𝑥 2 − 𝑎2 )𝑑𝑥 … 𝑥 = 𝑎 cosh 𝑢 j) ∫ R(𝑥, √𝑎2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 … 𝑥 = 𝑎 sin 𝑢 ˅ 𝑥 = 𝑎 cos 𝑢 → g)
𝑏
k) ∫ R (𝑥, √𝑎2 + (𝑏𝑥 2 )) 𝑑𝑥 … 𝑥 = tan 𝑢 l) ∫ R(𝑥, √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑑𝑥 … 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐸𝑟𝑤𝑒𝑖𝑡𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 → h), i) oder j)
𝑎
m) ∫ p(𝑥) 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 → a) mit 𝑓 ′ = 𝑒 𝑎𝑥 ; 𝑔 = p(𝑥) n) ∫ p(𝑥) sin(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 → a) mit 𝑓 ′ = sin(𝑎𝑥) ; 𝑔 = p(𝑥) o) wie n) mit cos(𝑎𝑥)
p) ∫
1
𝑐𝑜𝑠 𝑚 𝑥
r) ∫ f
𝑑𝑥 =
−1 (𝑥)
sin 𝑥
(𝑚−1) 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥 f
−1 (𝑥)
+
− F(f
𝑚−2
𝑚−1
1
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2 𝑥 𝑑𝑥
−1 (𝑥))
q) ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = −
+ 𝐶; 𝑚𝑖𝑡 F(𝑥) = ∫ f(𝑥) 𝑑𝑥
cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑚−1 𝑥
𝑚
s) ∫ f(g(𝑥)) g
+
𝑚−1
′ (𝑥)
𝑚
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑚−2 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 … 𝑢 = g(𝑥)
Koordinatentransformation:
Jacobi:
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑦
=
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
𝜕𝑢
𝜕𝑧
(𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤 Polar:
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧 Kugel:
𝜕𝑤 )
𝜕(𝑥, 𝑦)
𝑥 = 𝑟 cos 𝜑
( 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 ) ; det (
)=𝑟
𝜕(𝑟, 𝜑)
𝑥 = 𝑟 cos 𝜑
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
Zylinder: ( 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 ) ; det (
) = 𝑟2
𝜕(𝑟,𝜑,𝑧)
𝑧=𝑧
𝑥 = 𝑟 sin 𝜗 cos 𝜑
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
( 𝑦 = 𝑟 sin 𝜗 sin 𝜑 ) ; det (
) = 𝑟 2 sin 𝜗
𝜕(𝜗, 𝜑, 𝑟)
𝑧 = 𝑟 cos 𝜗
Kurvenlängen und Kurvenintegrale:
𝑡
𝑡
𝑏
𝑏
𝑏
𝜑𝑏
Kurvenlänge
Kurvenl.
Kurvenl.
𝑑𝑟 2
𝑠 = ∫ |𝑟⃑′(𝑡)| 𝑑𝑡 = ∫ √𝑥̇ (𝑡)2 + 𝑦̇ (𝑡)2 + 𝑧̇ (𝑡)2 𝑑𝑡
𝑠 = ∫ √1 + 𝑦′² 𝑑𝑥
𝑠 = ∫ √𝑟² + ( ) 𝑑𝜑
von r⃗(𝑡):
von
y=y(x)
v.
r=r(ϕ)
𝑑𝜑
𝑡𝑎
𝑡𝑎
𝑎
𝜑𝑎
Maßtensor
der Fläche
r⃗(𝑢, 𝑣)
𝜕𝑟⃗
M(𝑢, 𝑣) = (𝜕𝑢
𝜕𝑟⃗
𝜕𝑢
∙
∙
𝜕𝑟⃗
𝜕𝑟⃗
𝜕𝑢
𝜕𝑟⃗
𝜕𝑢
𝜕𝑟⃗
𝜕𝑣
𝜕𝑣
∙
∙
𝜕𝑟⃗
𝜕𝑣
)
𝜕𝑟⃗
𝜕𝑣
Länge einer
𝑡𝑏
⃗⃗⃗⃗′(𝑡)𝑇 M(w
⃗⃗⃗⃗(𝑡)) w
⃗⃗⃗⃗′(𝑡) 𝑑𝑡
Flächenkurve 𝑠 = ∫ √w
𝑡𝑎
r⃗(w
⃗⃗⃗⃗(𝑡))
𝑏
Kurvenintegral des Skalarfeldes ρ(𝑟⃗)
Kurvenintegral des Vektor∫
ρ
𝑑𝑠
=
∫
ρ(r⃗(𝑡))|r⃗ ′(𝑡)| 𝑑𝑡
entlang d. Kurve 𝐶 = {r⃗(𝑡) ; 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏}: 𝐶
feldes a⃗⃗(𝑟⃗) entl. d. Kurve C:
𝑎
Kurvenintegral Gradientenfeld:
𝑏
∫ 𝑎⃗ 𝑑𝑟⃗ = ∫ a⃗⃗(r⃗(𝑡)) ∙ r⃗ ′(𝑡) 𝑑𝑡
𝐶
𝑎
2
Wenn a⃗⃗(r⃗(𝑡)) = ∇ 𝜙(r⃗(𝑡)), dann ist ∫𝐶 𝑎⃗ 𝑑𝑟⃗ = 𝜙(r⃗(𝑏)) − 𝜙(r⃗(𝑎)) Notw. Bed. in ℝ :
𝜕𝑎𝑦 𝜕𝑎𝑥
=
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Hinreichende Bedingung: Ist ∇ × 𝑎⃗(r⃗) = 0 („wirbelfrei“) im einfach zusammenhängenden Gebiet G, dann ist a⃗⃗(r⃗) in G ein Gradientenfeld.
(Gradientenfeld) ⇔(wegunabhängig); (Gradientenfeld) ⇒ (wirbelfrei); (wirbelfrei ∧ einfach zusammenhängend) ⇒ (Gradientenfeld)
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Flächenintegrale:
Skalares Flä𝜕𝑟⃗
𝜕𝑟⃗
𝑑𝐴 = ‖n
⃗⃗(𝑢, 𝑣)‖ 𝑑(𝑢, 𝑣) = √det(M(𝑢, 𝑣)) 𝑑(𝑢, 𝑣); 𝑛⃗⃗ = ×
𝜕𝑢
𝜕𝑣
chenelement
Flächeninhalt A der regulär orient. Fläche
𝐹 = {r⃗(𝑢, 𝑣) ∈ ℝ3 : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐵}
𝐴 = ∫ 𝑑𝐴
Flächenintegral des Skalarfeldes ρ(𝑟⃗)
über d. Fläche 𝐹 = {r⃗(𝑢, 𝑣) : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐵}
∫ ρ 𝑑𝐴 = ∫
𝐹
ρ(r⃗(𝑢, 𝑣)) ‖n
⃗⃗(𝑢, 𝑣)‖ 𝑑(𝑢, 𝑣) = ∫
(𝑢,𝑣)∈𝐵
𝐹
ρ(r⃗(𝑢, 𝑣)) √det(M(𝑢, 𝑣)) 𝑑(𝑢, 𝑣)
(𝑢,𝑣)∈𝐵
Flächenintegral des stetigen Vektorfeldes a⃗⃗(𝑟⃗) über Fläche
∫ a⃗⃗(r⃗(𝑢, 𝑣)) ∙ 𝑑𝐴⃗
𝐹 = {r⃗(𝑢, 𝑣) : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐵} (Fluss von a⃗⃗ durch F in Richtung ⃗n⃗) 𝐹
Vektorielles
⃗
Flächenelement 𝑑𝐴 = ⃗n⃗(𝑢, 𝑣) 𝑑(𝑢, 𝑣)
Integralsätze:
𝜕𝑎𝑦 𝜕𝑎𝑥
Satz v. Green: Kurvenintegral des Vektorfeldes a⃗⃗(𝑥, 𝑦) entl. der Kurve 𝜕𝐺
∫ 𝑎⃗ 𝑑𝑟⃗ = ∫ rot(𝑎⃗) 𝑑(𝑥, 𝑦) = ∫ (
−
) 𝑑(𝑥, 𝑦)
(in ℝ²) überführen in Flächenintegral über eingeschlossenes Gebiet G:
𝜕𝑎𝑥 𝜕𝑎𝑦
𝜕𝐺
𝐺
𝐺
Satz von Stokes: Kurvenintegral des Vektorfeldes a⃗⃗(𝑟⃗) entl. der
⃗⃗ × a⃗⃗(𝑟⃗))(𝑢, 𝑣) ∙ 𝑑𝐴⃗; 𝑚𝑖𝑡 𝑑𝐴⃗ = ⃗n⃗(𝑢, 𝑣) 𝑑(𝑢, 𝑣)
Kurve 𝜕𝐹 = {r⃗(𝑢, 𝑣) : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝜕𝐺} überführen in Flächenintegral ∫ a⃗⃗(r⃗(𝑡)) 𝑑𝑟⃗ = ∫ (∇
𝜕𝐹
𝐹
über eigeschlossene Fläche 𝐹 = {r⃗(𝑢, 𝑣) : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐺}
Satz von Gauß (Divergenzsatz): Flächenintegral des Vektorfeldes a⃗⃗(𝑟⃗)
über die Fläche 𝜕𝑉 = {r⃗(𝑢, 𝑣) : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝜕𝑉} überführen in Volums∫ a⃗⃗(r⃗(𝑢, 𝑣)) ∙ 𝑑𝐴⃗ = ∫ ⃗∇⃗ ∙ a⃗⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑑𝑉
𝜕𝑉
𝑉
integral über eigeschlossenes Volumen 𝑉 = {r⃗(𝑢, 𝑣) : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝑉}
Divergenzsatz in ℝ²: Fluss des Vektorfeldes a⃗⃗(𝑥, 𝑦) durch die Randkurve 𝜕𝐺
∫ 𝑎⃗ ∙ 𝑑𝑛⃗⃗ = ∫ (𝑎𝑥 𝑑𝑦 − 𝑎𝑦 𝑑𝑥) = ∫ (∇ ∙ a⃗⃗(𝑥, 𝑦)) 𝑑(𝑥, 𝑦)
ist gleich der Gesamtdivergenz von a⃗⃗(𝑥, 𝑦) im eingeschlossenen Gebiet G
𝜕𝐺
𝜕𝐺
𝐺
Greensche Formel in ℝ3: ∫ (𝑓∇2 𝑔 − 𝑔∇2 𝑓) 𝑑𝑉 = ∫ (𝑓∇𝑔 − 𝑔∇𝑓) ∙ 𝑑𝐴⃗
𝐺
𝜕𝐺
Greensche Formel in ℝ2: ∫ (𝑓∇2 𝑔 − 𝑔∇2 𝑓) 𝑑(𝑥, 𝑦) = ∫ (𝑓∇𝑔 − 𝑔∇𝑓) ∙ 𝑑𝑛⃗⃗
𝐺
𝜕𝐺
in ℝ1 ∫(𝑓𝑔′′ − 𝑔𝑓 ′′ ) 𝑑𝑥 = 𝑓𝑔′ − 𝑔𝑓 ′
Partielle Integration:
In ℝ1:
∫ 𝑓′𝑔 𝑑𝑥 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑓𝑔′ 𝑑𝑥
In ℝ²:
(∇ ∙ 𝑓⃗) 𝑔 𝑑(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓⃗𝑔 ∙ 𝑑𝑛⃗⃗ + ∫
∫
(𝑥,𝑦)𝐺
In ℝ3:
∫
(∇ ∙ 𝑓⃗) 𝑔 𝑑𝑉 = ∫ 𝑓⃗𝑔 ∙ 𝑑𝐴⃗ + ∫
(𝑥,𝑦)∈𝐺
𝜕𝐺
𝑓⃗ ∙ (∇𝑔) 𝑑(𝑥, 𝑦)
(𝑥,𝑦)∈𝐺
𝑓⃗ ∙ (∇𝑔) 𝑑𝑉
(𝑥,𝑦)∈𝐺
𝜕𝐺
Sonstiges:
Komplanation y=y(x)
(Drehung um x-Achse)
𝑏
𝑂𝑥 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑦√1 + 𝑦′² 𝑑𝑥
Volumen y=y(x)
(Drehung um x- und y-Achse)
Volumsintegral allg.:
𝑉𝑥 =
𝑏
𝑏
𝑏
𝑥
𝜋 ∫𝑥 2 𝑦² 𝑑𝑥; 𝑉𝑦
1
=
Komplanation r⃗(𝑡) ∈ ℝ2
(Drehung um x-Achse)
𝑦
𝜋 ∫𝑦 2 𝑥² 𝑑𝑦
1
𝑏
𝑏
=
𝑥
𝜋 ∫𝑥 2 𝑥²𝑦′ 𝑑𝑥
1
𝑡𝑏
𝑂𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑦√𝑥̇ ² + 𝑦̇ ² 𝑑𝑡
𝑡𝑎
𝑡
𝑡
Volumen
𝑉 = 𝜋 ∫𝑡 𝑏 𝑦²𝑥̇ 𝑑𝑡 ; 𝑉𝑦 = 𝜋 ∫𝑡 𝑏 𝑥²𝑦̇ 𝑑𝑡
𝑎
𝑎
r⃗(𝑡) ∈ ℝ2 𝑥
𝑏
𝑏
𝑟
𝑧
𝑏
𝑏
𝐼 = ∫𝑎 𝑧 ∫𝑎 𝑦 ∫𝑎 𝑥 ρ(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧=∫𝑎 𝜗 ∫𝑎 𝜑 ∫𝑎 𝑟 𝑟 2 sin 𝜗 ρ(𝑟, 𝜑, 𝜗) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜗 = ∫𝑎 𝑧 ∫𝑎 𝜑 ∫𝑎 𝑟 𝑟 2 ρ(𝑟, 𝜑, 𝑧) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑧
𝑧
𝑦
𝑥
𝜗
𝜑
𝜑
𝑟
𝑑 𝑥
Ableitung nach der
∫ f(𝜏) 𝑑𝜏 = f(𝑥)
oberen Grenze
𝑑𝑥 𝑎
𝑥𝑒 − 𝑥𝑎
𝑥𝑒 − 𝑥𝑎
(𝑦𝑎 + 4𝑦𝑚 + 𝑦𝑒 )
[𝑦0 + 4(𝑦1 + 𝑦3 + ⋯ ) + 2(𝑦2 + 𝑦4 + ⋯ ) + 𝑦2𝑛 ]
𝐼𝐾𝑒𝑝𝑙𝑒𝑟 =
𝐼𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛 =
6
6𝑛
𝑃(𝑥)
𝐴𝑥 + 𝐵
1
Ansatz bei doppelt komplexer NST
∫
𝑑𝑥 =
+𝐶∫
𝑑𝑥 → 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛 𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑥
eines Nenners (x²+px+q)²:
(𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞)²
𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞
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