(1) m = 3 (2)

1
1 辺の長さが 1 である正四面体 ABCD がある．面 ABC と面 DBC のなす角を µ とすると
き，次の問いに答えなさい．
(1) cos µ を求めなさい．
(2) 正四面体 ABCD の体積 V を求めなさい．
(3) 正四面体 ABCD に内接する球の半径 r を求めなさい．
（島根県立大学 2015 ）
2
m を定数とする．2 次関数 f(x) = x2 ¡ 2mx + m2 ¡ 4m について，以下の問に答えよ．
(1) m = 3 のとき，f(x) の最小値を求めよ．
(2) ¡1 5 x 5 1 において，f(x) の最大値が 2，最小値が ¡4m となるような m の値を求
めよ．
（北里大学 2014 ）
3
2 次方程式 x2 + ax + a + 4 = 0 の 2 つの解が整数となるように定数 a の値を定めよ．
（倉敷芸術科学大学 2015 ）
4
x についての n 次多項式 f(x) が恒等式 f(x3 ) = x4 f(x + 1) ¡ 15x5 ¡ 10x4 + 5x3 をみ
たすとき，次の問いに答えよ．
(1) f(0)，f(¡1)，f(¡8) の値を求めよ．
(2) n の値を求めよ．
(3) f(x) を求めよ．
（九州歯科大学 2014 ）
5
xy 平面上に円 C : x2 + y2 + 8x ¡ 6y + 16 = 0 と直線 ` : ¡3x ¡ 4y + 12 = 0 がある．
このとき，以下の各問に答えよ．
(1) 円 C の中心の座標と半径を求めよ．
(2) 円 D は直線 ` に接し，円 C と外接している．また，その中心の y 座標が円 C の中心の y
座標に等しい．円 D の中心の座標と半径を求めよ．
（釧路公立大学 2015 ）
6
x についての方程式
log2 x = log4 (8x ¡ a ¡ 6)
が異なる 2 つの実数解を持つとき，定数 a の値の範囲を求めよ．
（東京女子大学 2015 ）
7
整数 a; b は 0 5 a 5 3，0 5 b 5 3 を満たし，
2a sin(bx + a¼) sin bx ¡ cos 2bx + 1 = 0
がすべての実数 x について成り立っている．このような a; b の組 (a; b) をすべて求めよ．
（和歌山大学 2015 ）
8
実数 a; b に対し，関数
f(x) = x4 + 2ax3 + (a2 + 1)x2 ¡ a3 + a + b
がただ 1 つの極値をもち，その極値が 0 以上になるとする．次の問いに答えよ．
(1) a; b のみたす条件を求めよ．
(2) a; b が (1) の条件をみたすとき，a ¡ 2b の最大値を求めよ．
（横浜国立大学 2016 ）
9
数列 fan g，fbn g の初項から第 n 項までの和をそれぞれ
sn = a1 + a2 + Ý + an ;
tn = b1 + b2 + Ý + bn
とおいたとき
sn =
3n 2 + n
;
2
log2 (tn + 1) = 2n
(n = 1; 2; Ý)
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1) fan g の一般項を求めよ．
(2) fbn g の一般項を求めよ．
n
P
(3)
ak bk を求めよ．
k=1
（福岡教育大学 2016 ）
10 1 辺の長さが 2 の立方体 ABCD-EFGH がある．下の図 1 にように，2 辺 BC，CD 上に，
BS = CT = x (0 5 x 5 2) を満たす点 S，T をとる．このとき，三角形 EST の面積の
最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡! ¡
!
(1) 上の図 2 を参考にして，三角形 OPQ において OP = p ，OQ = q とおくとき，三角形
OPQ の面積は
1
2
E
¡
!
p
2
¡
!
q
2
¡
! ¡
!
¡ ( p ¢ q )2
と表されることを証明せよ．
¡
!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
(2) EF = a ，EH = b ，EA = c とおく．立方体の 1 辺の長さが 2 であることに注意し
¡
! ¡! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
!
¡!
て，ES，ET を a ; b ; c および x を用いて表せ．また， ES 2 ， ET 2 を，それぞれ
¡
! ¡!
¡
! ¡!
x の式として表せ．さらに，ES と ET の内積 ES ¢ ET は，x によらない一定の値になるこ
とを示せ．
(3) 上の (1) を利用して三角形 EST の面積 f(x) を求めよ．
(4) 0 5 x 5 2 の範囲で，f(x) の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの x の値も答
えよ．
（長崎大学 2016 ）

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