統計学II レポート課題19：信頼区間の構成

統計学 II レポート課題 19：信頼区間の構成
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提出期限は、10 月 20 日。
問題あるコンビニエンス・ストアでは、幕の内弁当の１日当りの販売個数が正規母
集団 N (µ, σ 2 ) に従っているものとする。いま無作為に 30 日を選んで 1 日当たりの弁
当の販売個数を調べたところ、30 日の平均は X = 20 個であった。
(1) 母集団の分散 σ 2 = 90 がわかっているものとして、信頼係数 0.9 で 1 日当たりの
弁当の販売個数の信頼区間を求めよ。
(2) 母分散 σ 2 が未知で、標本分散が s2 = 90 であったとする。
(a) 1 日当たりの販売個数の、信頼係数 0.9 の信頼区間を求めよ。
(b) 母集団の平均が µ = 15 であるとき、30 日の平均販売個数 X がある個数を上回
る確率が 0.01 であるような（平均の）個数（整数値でなくて良い）の値を求めよ。
解答 (1) 標本平均 X を標準化したものは
X −µ
X −µ
= √
Z= √
∼ N (0, 1)
σ2
n
90
30
だから、正規分布表より P (Z > 1.645) = 0.05 となることに注意して
0.90 = P (−1.645 < Z < 1.645)
X −µ
= P (−1.645 < √
< 1.645)
3
√
√
= P (X − 3 × 1.645 < µ < X + 3 × 1.645)
= P (X − 2.845 < µ < X + 2.845)
が得られる。X に x = 20 を代入して信頼区間は 17.15 < µ < 22.85 となる。
(2) (a) 標本平均 X を標本分散 s2 を用いて標準化したものは
X −µ
X −µ
T = √
= √
S2
n
S2
30
で、それは自由度 30 − 1 = 29 の t 分布に従うから、t 分布表より P (T > 1.699) = 0.05
1
となることに注意して
0.90 = P (−1.699 < T < 1.699)
X −µ
= P (−1.699 < √
< 1.699)
√
= P (X −
S2
30
S2
× 1.699 < µ < X +
30
√
S2
× 1.699)
30
が得られる。X と S 2 に実現値 x = 20 と s2 = 90 を代入して
20 −
√
√
3 × 1.699 < µ < 20 + 3 × 1.699
⇔ 17.06 < µ < 22.94
が求める信頼区間となる。
(b) 自由度 29 の t 分布表より P (T > 2.462) = 0.01 が分かるから
X − 15
T = √
> 2.462
90
30
を X について解いて X > 15 +
√
3 × 2.462、つまり 19.26 個が答えとなる。
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