第 3 回レポート問題解答位相幾何学 BI (担当: 新國) 2014 年 7 月 14 日 (月) 出題問題. 単体的複体 K を   |A0 A1 A2 |, |A0 A2 A3 |, |A0 A3 A1 |, |A1 A2 A3 | |A4 A1 A2 |, |A4 A2 A3 |,  K = |A4 A3 A1 |, |A0 A1 |, |A0 A2 |, |A0 A3 |, |A1 A2 |, |A2 A3 |, |A3 A1 |,   |A4 A1 |, |A4 A2 |, |A4 A3 |, |A0 |, |A1 |, |A2 |, |A3 |, |A4 | で定義し, また K の部分複体 L を L = {|A1 A2 A3 |, |A1 A2 |, |A2 A3 |, |A3 A1 |, |A1 |, |A2 |, |A3 |} で定義する. このとき, 以下の設問に答えよ. ( 1 ) K の 2 次元ホモロジー群 H2 (K) を求めよ. ( 2 ) 対 (K, L) の相対 2 次元ホモロジー群 H2 (K, L) を求めよ. 以上解答. (1) 与えられた単体的複体 K の多面体 |K| は図 1 の通り. いま, K の部分複体 K1 , K2 として, 以下のものを考える: { } |A0 A1 A2 |, |A0 A2 A3 |, |A0 A3 A1 |, |A1 A2 A3 |, |A0 A1 |, |A0 A2 |, K1 = , |A0 A3 |, |A1 A2 |, |A2 A3 |, |A3 A1 |, |A0 |, |A1 |, |A2 |, |A3 | { } |A4 A1 A2 |, |A4 A2 A3 |, |A4 A3 A1 |, |A1 A2 A3 |, |A4 A1 |, |A4 A2 |, . K2 = |A4 A3 |, |A1 A2 |, |A2 A3 |, |A3 A1 |, |A4 |, |A1 |, |A2 |, |A3 | このとき, |K1 | と |K2 | はともに, 3 単体 σ 3 から得られる単体的複体 K(∂σ 3 ) の多面体と同相であるから, 講義における定理 2.5.2 及び第 2 回レポートの問題 (3) より, { Z (q = 0, 2) Hq (Ki ) ∼ (i) = Hq (K(∂σ 3 )) ∼ = 0 (q ̸= 0, 2) が得られる (i = 1, 2). 更にいま, K1 ∪ K2 = K, かつ K1 ∩ K2 = L であり, |L| は 2 単体 σ 2 から得られる単体的複体 K(σ 2 ) の多面体と同相であるから, 講義における定理 2.5.2 及び第 2 回レポートの問題 (2) より, { Z (q = 0) Hq (L) ∼ = Hq (K(σ 2 )) ∼ = 0 (q = ̸ 0) (ii) である. そこでいま, K, K1 , K2 に関する Mayer-Vietoris 完全系列から φ2 ψ2 ∆2∗ ∗ ∗ H2 (L) −→ H2 (K1 ) ⊕ H2 (K2 ) −→ H2 (K) −→ H1 (L) (iii) が完全となるので, まず (ii), (iii) から ψ2 ∗ 0 −→ H2 (K1 ) ⊕ H2 (K2 ) −→ H2 (K) −→ 0 が完全である. 即ち ∼ = ψ2 ∗ : H2 (K1 ) ⊕ H2 (K2 ) −→ H2 (K) となり, 従って (i), (iv) から H2 (K) ∼ =Z⊕Z が得られる. A0 A1 xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx A3 A2 A4 図 1: 単体的複体 K (斜線部分が L) 2 (iv) (2) 対 (K, L) の相対ホモロジー完全系列から i2∗ π2∗ ∆2∗ H2 (L) −→ H2 (K) −→ H2 (K, L) −→ H1 (L) (v) が完全となるので, まず (ii), (v) から π2∗ 0 −→ H2 (K) −→ H2 (K, L) −→ 0 が完全である. 即ち ∼ = π2∗ : H2 (K) −→ H2 (K, L) となり, 従って設問 (1) の結果と (iv) から H2 (K, L) ∼ =Z⊕Z が得られる. 3 (vi)