5章標本と統計量の分布

5章標本と統計量の分布
湯浅直弘
5-1 母集団と標本
 ■母集合
 今までは確率的なこと
 これからは，確率や割合がわかっていないときに，
推定することが目標．
 個体：実験や観測を行う1つの対象
 母集団：個体全部の集合
・有限な場合：有限母集合→１つの箱に入っているねじ．
・無限な場合：無限母集合→将来つくられると思われるねじ．
■調査と標本
全数調査：母集団の個体すべてを調べること．
例：国勢調査，ファラの下ネタ発言
無限母集合は全数調査はできない．
※全数調査は多大な労力，費用，時間がかかる．
↓
一部から，効率よく傾向や特性などが分かれば
嬉しい．
標本に関する用語
 標本調査：母集団から1部の個体を抽出して特性を
推測する
 標本抽出：母集団から1つの固体を抽出する
 標本：抽出した固体の集合
 標本の大きさ：個体の総数
 無作為抽出：特性を推測するため，無作為に抽出．
 無作為標本：無作為抽出によって取り出された標本．
■乱数表
 乱数：無作為に抽出するための１つの手法として用
いる．
 乱数表：０から９までの数字を同確率で独立に並べ
たもの．P.212
 ・復元抽出：重複を認める
 ・非復元抽出：重複を認めない．
 層別抽出：母集団を性別や年齢などの層に分けて，
それより抽出を行う手法．
より正確な情報が得られる．
例題
 例 100人の学生の中から10人を無作為抽出する．
解
 00から99まで番号付けする
 乱数表から2桁ずつを1つの数字として10個抽出．
 今回は乱数表の10行目から抽出した．
96｜75｜41｜76｜76｜55｜65｜94｜41｜05｜47
この番号付けされた学生を抽出すればよい．
5-2 標本の整理
■度数分布
抽出した標本から母集団の特性を推測する
ために標本を整理する．
数値の範囲を区間に分けて，標本の個数を
数える．
階級：各区間のこと．
度数：その区間に入る標本の個数．
度数分布表．
身長の度数分布表
■標本平均
 抽出した標本の平均値．
 標本の大きさｎ，各標本の値x1,x2,x3...xn
1 n
1
x   xi  ( x1  x2  ...  xn )
n i 1
n
全体ではなく，抽出した標本についての算術平均．
 ・中央値(median)：標本の値を並べたときの中央にある値．
・奇数なら，ちょうど真ん中．
・偶数なら，真ん中の値の平均を取る．
 ・最頻値(mode)：度数分布表で度数のもっとも大きい階
級の標識の値．(一番出現する値.)
例題
 ※例１．乱数を100個取得して，その値から度数分布表を生成．

その値から標本平均を求める．

 ※例2．身長の度数分布から標本平均を求める．

標本値を用いたとき



全員の測定値を標本としたとき


度数分布は全員の計測値を元に計算した値のため，近似している．
■標本分散
標本のばらつきを示す量.各標本値と標本平
均との差を2乗した値．
標本標準偏差：標本分散の平方根s
標準分散σ^2は全体が分かっているときの分散
標本分散s^2は全体から抽出した標本について計
算した値．
5-3 統計量の性質
■母集団の分布
 母集団分布：有限母集団の数値付けを行った個体
に対して確率変数に従うときの値．
 母集団分布の特性
 母数
 ・母平均：μ
 ・母分散：σ^2
 ・母標準偏差：σ
 ・母比率：ある特性を持っている個体の割合
例題
不良品が20本含まれているねじ100本を母集
団とする．
不良品には1，正常品0と数値付ける．
母平均μ=1*0.2+0*0.8=0.2
母分散
σ^2={1-0.2}^2*0.2+{00.2}^2*0.8=0.16
不良品の割合母比率p=20/100=0.2
■標本の分布
標本値から母集団の分布を考える．
 母集団から標本xiを抽出するときの確
 以上．率変数Xiを標本確率変数という
 標本確率変数の平均(標本平均)
 標本確率変数の分散(標本分散)
 標本平均の分布を知るには，
 大きさｎの標本から多数回x~を計算することが重要
■標本平均の期待値と分散
標本平均の期待値
E[X]=μ(母集団の平均)
標本平均の分散
E[(X-μ)^2]=σ^2(母集団の分散)
標本平均の期待値は母平均に等しい．
標本平均の分散は母分散を標本の大きさで
割ったものに等しい
■標本分散の期待値
標本分散S^2の期待値は母分散で表せる．
標本分散の期待値は母分散σ^2の(n-1)/n倍に等しい．
終わり．
 標本空間に対する確率変数では根元事象に対して
数値を対応させたもの．
 例えば，サイコロを振るとき1,2,...6の数値に対応す
る6個の根元事象のみを確率変数に含ませる．
 確率が先に分かっているとき．
 母集団に対する確率変数では無限回の測定の個
体を数値化して対応させたもの．
 無限回の測定結果を確率変数に含ませる．
 全数調査をして初めて決まる．

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