` a ≦ ¡2 ` ¡2

年番号
1
3
次の各問いに答えなさい．
(1) n 本中 k 本の当たりが入ったクジを n 人で順番
に引く．引いたクジは元に戻さないとして，i 番
k
目にクジを引く人の当たる確率が
であるこ
n
とを示しなさい．ただし，0 < k < n とする．
(2) 関数 y1 = sin x と y2 = 2 sin(a ¡ x) につい
p
て，y = y1 + y2 の最大値が 7 になるとき，定
数 a の値を求めなさい．
以下の問いに答えよ．
(1) 任意の自然数 a に対し，a2 を 3 で割った余りは
0 か 1 であることを証明せよ．
(2) 自然数 a; b; c が a2 + b2 = 3c2 を満たすと仮
定すると，a; b; c はすべて 3 で割り切れなけれ
ばならないことを証明せよ．
(3) a2 + b2 = 3c2 を満たす自然数 a; b; c は存在
しないことを証明せよ．
(3) 放物線 y = ax2 と直線 y = bx で囲まれる部
分の面積を 2 等分する直線 x = p を求めなさい．
ただし，a; b > 0 とする．
（大分大学 2014 ）
2
氏名
実数 a; b に対して，f(x) = x2 + ax + b とす
る．次の問いに答えよ．
(1) ¡1 5 x 5 1 における f(x) の最大値を M，最
小値を m とする．
(a) M; m をそれぞれ以下の場合に分けて a; b
を用いて表せ．
‘ a 5 ¡2
’ ¡2 < a < 2
“ 25a
(b) M ¡ m が最小となるような a の値を求め，
さらにそのときの M ¡ m の値を求めよ．
(2) ¡1 5 x 5 1 における f(x) の最大値が最小
となるような a; b の値を求め，さらにそのとき
の f(x) の最大値を求めよ．
（東京理科大学 2015 ）
（九州大学 2014 ）

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