OB = ¡!b ，j - SUUGAKU.JP

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4OAB において，OA = a ，OB = b ，j a j = 3，j b j = 2， a ¢ b = t
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円周上の点 A における円の接線上に点 A と異なる点 P をとる．点 P を通る
とする．点 A から直線 OB に垂線 AP を下ろし，点 B から直線 OA に垂線
直線が点 P から近い順に 2 点 B，C で円と交わっている．ÎAPB の二等分線
BQ を下ろし，直線 AP と直線 BQ の交点を R とする．
と線分 AB，AC との交点をそれぞれ D，E とする．PA : PB = r : 1 ¡ r と
(1) t の範囲を求めなさい．
¡!
¡
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¡!
¡
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(2) OP を t と b で，OQ を t と a で表しなさい．
¡! ¡
! ¡
!
¡!
(3) t = 1 のとき，OR を a と b で表し，jORj を求めなさい．
おき，BD = s; CE = t とおく．ただし，0 < r < 1 とする．
(1) 線分 AD の長さを r と s で表しなさい．
(2) PB : PC = 2 : 3 となるとき，r の値を求めなさい．
(3) (2) のとき，線分 AE の長さを t で表しなさい．
2
a; b; c; k を実数とし，k > 0 とする．2 次関数 f(x) = ax2 + bx + c は
f(0) = 9，f(¡1) = 16 をみたす．また，関数 f(x) について，x に関する
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曲線 C 上の点を P とする．点 P における曲線 C の接線を ` とする．曲線 C，
恒等式
f0 (x) = 6x ¡ 9k ¡ 4 +
Z
接線 ` および y 軸で囲まれた部分の面積を S1 とし，曲線 C と直線 PQ で囲
k
0
f(t) dt
まれた部分の面積を S2 とする．
(1) ` の方程式を求めなさい．
が成り立つ．ただし，f0 (x) は f(x) の導関数とする．
(2) S1 を t で表しなさい．
(1) f(x) を求めなさい．
(3) S1 : S2 を求めなさい．
(2) k の値を求めなさい．
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3
数列 fan g の初項から第 n 項目までの和 Sn が Sn =
1; 2; 3; Ý) をみたす．
曲線 C : y = x2 + px + q と y 軸との交点を Q とし，x 座標 t が正である
3
a ¡ n (n =
2 n
t を実数とし，点 P の座標を (t; ¡t2 ) とする．点 P と直線 `1 : 2x+y+3 = 0
の距離を d1 とし，点 P と直線 `2 : 2x ¡ y + 4 = 0 の距離を d2 とする．ま
た，d = d1 + d2 とおく．
(1) a1 を求めなさい．
(1) t = 2 のとき，d の値を求めなさい．
(2) a2 を求めなさい．
(2) 点 P が直線 `1 上またはその上側にあるための t の条件を求めなさい．
(3) 一般項 an を求めなさい．
(3) (2) のとき，d の最小値とそのときの t の値を求めなさい．
7
正の偶数 m が順に m 個ずつ並んだ数列
2; 2; 4; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 6; 6; 6; Ý
を fan g とする．
(1) 正の偶数 2t が数列 fan g の第何項に初めて現れるかを自然数 t を用いて表
しなさい．
(2) a100 を求めなさい．
(3) a1 から a100 までの和を求めなさい．
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曲線 C : y = 2x2 ¡ 2x の原点における接線を ` とする．直線 `，直線 x = 1
および曲線 C で囲まれる領域を D とする．
(1) 直線 ` の方程式を求めなさい．
(2) 領域 D と不等式 x + y 5 0 の表す領域 E との共通部分の面積を求めなさい．
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3 点 O，A，B があり，OA = a ; OB = b とおくと，j a j = 3; j b j =
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が成り立っている．OA の中点を P とし，半直線 AB 上
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に AB : AH = 1 : s (s > 0) となる点 H をとる．
2; cos ÎAOB =
¡!
¡
! ¡
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(1) OH を s; a ; b を用いて表しなさい．
(2) 直線 OH と直線 AB が垂直に交わるような s の値を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) (2) のとき，直線 OH と直線 PB の交点を Q とする．OQ を a と b を用い
て表しなさい．
10 直線 `1 : y = mx + 3 (m > 0) が，点 A(5; 3) を中心とする円 C1 に接し
ている．その接点を P とする．直線 `1 と y 軸との交点を Q，2 点 A，P を通
る直線 `2 と x 軸との交点を R とする．
(1) 円 C1 の半径 r を m を用いて表しなさい．
(2) 円 C1 が x 軸と異なる 2 点で交わるような m の値の範囲を求めなさい．
(3) 線分 QR の中点 S の座標を求めなさい．
(4) 3 点 P，Q，R を通る円 C2 の中心と円 C1 の中心との距離を d とする．d の
最小値とそのときの m の値を求めなさい．

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