線形代数 II 演習期末試験（2016 年 1 月 19 日）1 枚目学籍番号氏名

線形代数 II 演習期末試験（2016 年 1 月 19 日）1 枚目
学籍番号氏名点数 1
λ1 , λ2 ∈ R を実対称行列 A の相異なる固有値とし, p1 , p2 をそれぞれ λ1 , λ2 に対する固有ベクトルとする.
このとき, p1 と p2 は直交することを示しなさい.


 0 0 1 


2 行列 A =  4 −3 4  が対角化可能であるか調べ，対角化可能である場合には対角化せよ. 対角化不可


1 −1 0
能である場合には三角化せよ(注 1) .
(注 1)
いずれの場合も，対角化または三角化をさせる行列 P も求めること.
線形代数 II 演習期末試験（2016 年 1 月 19 日）2 枚目
学籍番号氏名 

 3 0 3 


3 実対称行列 A =  0 6 0  に対して, 次の問いに答えよ.


3 0 3
(1) A の固有値を求めよ.
(2) t PAP が対角行列となるような直交行列 P を求めよ. また，そのときの t PAP を求めよ.
4


 2 2 
 について以下の問いに答えなさい.
行列 A = 
6 1
(1) k を自然数とする. Ak を k を用いて表すと, ある 2 つの 2 次正方行列 B, C を用いて Ak =
に表すことができる(注 2) . 行列 B, C を求めよ.
(2) t は実数とする. 行列の指数関数 etA を t と (1) の B, C を用いて表しなさい(注 3) .
(注 2)
5k
B
7
+
(−2)k
C
7
の形
答えが出来上がったら, k = 2 や k = 3 を代入したものと, A2 や A3 を直接計算したものとが合っているかを確かめてみること.
e = E + tA + 2!1 (tA)2 + 3!1 (tA)3 + · · · ということは t = 0 のときは etA は単位行列になることがわかる. このことも検算に使える.
(注 3) tA

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