2012年度線形代数学 II （今堀）期末試験

2012 年度線形代数学 II （今堀）期末試験
• 問題は全部で 3 問ある．大問題ごとに解答用紙を 1 枚使うこと．裏面を使っても良い．
• すべての解答用紙に，氏名，学籍番号，大問題の番号を記入すること．
問題 1 (30 点)
以下の問いに答えよ．
(1) 4 次元数ベクトル空間 R4 に対し，ベクトル p, q, r と線形部分空間 V ⊆ R4 を次式で定める．
 

 
 
 
2
1
d
w






 x 

0
b
e
 
 
 
 
4
p =  , q =  , r =  , V =   ∈ R | w + x + y + z = 0


1
c
f 
y 






a
1
1
z
ベクトルの組
[
2
(2) 行列 A =
s
{p, q, r} が線形空間 V の直交基底となるような a, b, c, d, e, f を求めよ．
]
1
は（実数の範囲に）2 つの固有値を持ち，その差は 3 である．s を求めよ．
3
問題 2 (45 点)
3 次元数ベクトル空間 R3 のベクトル列 {vk } (k = 0, 1, 2, . . .) は v0 が与えられたとき k ≥ 1 に対して，


√
2b
0
a
√ 
√
vk = Avk−1 ,
A =  2b
a
2 b
√
2b
a
0
によって定まるものとする（ここで a, b (> 0) は正の定数とする）．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)
行列 A の固有値を求めよ．
(2)
上の問 (1) で求めたそれぞれの固有値に対して，固有ベクトルを求めよ．
(3)
任意の v0 ∈ R3 に対して k → +∞ のとき vk が零ベクトル（0）に収束するために a, b が満たす
べき必要十分条件を求め，a, b の取りうる値の範囲を a-b 平面上に図示せよ．
問題 3 (40 点)
3 次元数ベクトル空間
R3 において，点
(x1 , y1 , z1 ) を点 (x2 , y2 , z2 ) に移す線形写像 f が，3 次正方行

 
x1
x2
 
 
（つまり，写像 f の表現行列を A とする．
）
列 A を用いて  y2  = A  y1  の形で表されるものとする．
z1
z2
この写像 f により，3 つの点 (k, k − 2, 1), (k, 2k − 4, 1), (k + 2, 2k − 4, 2) が（ここで k は定数とする），
それぞれ点 (3k − 5, 3k − 1, −2), (4k − 7, 5k − 5, k − 4), (4k − 6, 5k, k − 6) に移されるとき，以下の問い
に答えよ．
(1) 2 つの点 (−k + 2, 0, 0), (0, k − 2, 0) が写像 f により移される点をそれぞれ求めよ．
(2) 行列 A が一意に定まるための k に関する条件を求めよ．また，そのときの行列 A を求めよ．
2011 年度線形代数学 II （今堀）期末試験
• 問題は全部で 3 問ある．大問題ごとに解答用紙を 1 枚使うこと．裏面を使っても良い．
• すべての解答用紙に，氏名，学籍番号，大問題の番号を記入すること．
問題 1 (30 点)
次の問いに答えよ．
(1) 次の 3 次元数ベクトル p, q, r が 1 次独立であるか 1 次従属であるかを調べよ．
 
 
 
2
2
2
 
 
 
p =  0 , q =  2 , r =  3 
1
3
4
]
[
2 3
は（実数の範囲に）2 つの固有値を持ち，その差は 4 である．a を求めよ．
(2) 行列 A =
a 4
問題 2 (45 点)
3 次正方行列 P, D, A と 3 次元列ベクトル bi (i = 0, 1, . . . ) を考える．ここで，行列とベクトルの要素
は全て実数とし，P は正則行列，D は対角行列とする．行列 A とベクトル bi が次式を満たすとき，以
下の問いに答えよ．




0 1 0
ai




A =  0 0 1 , bi = ai+1  , bi+1 = Abi
−2 1 2
ai+2
(1) 行列 A の固有値を全て求めよ．
(2) 行列 P, D, A が AP = P D を満たすような，正則行列 P と対角行列 D を求めよ．
(3) a0 = 1, a1 = 0, a2 = 4 のとき，an を求めよ．
問題 3 (45 点)
行列 A，3 次元実ベクトル空間 R3 の部分空間 V ，ベクトル b を次のように定める．


 
0 3 2
2


 
A = 1 2 1 , V = {Ax | x ∈ R3 }, b = 1
2 1 0
2
 
p
√
 
また，ベクトル u = q  の長さ |u| を，|u| = p2 + q 2 + r2 と定める．以下の問いに答えよ．
r
(1) 空間 V の次元と基底を求めよ．
(2) 長さ |v − b| を最小にするベクトル v ∈ V とそのときの長さ |v − b| を求めよ．
(3) 長さ |Ax − b| を最小にするベクトル x ∈ R3 をすべて求めよ．
2010 年度線形代数学 II （今堀）期末試験
• 問題は全部で 3 問ある．大問題ごとに解答用紙を 1 枚使うこと．
• すべての解答用紙に，氏名，学籍番号，大問題の番号を記入すること．
問題 1 (30 点)
以下の問に答えよ．
1. 次の 3 次元数ベクトル p, q, r が互いに直交するような a, b, c を求めよ．
 




1
a
c
 




p =  2  , q =  −3  , r =  4  .
3
b
−3
2. 次の 3 次元数ベクトル p, q, r が 1 次独立であるか 1 次従属であるかを調べよ．



 

9
2
1




 
p =  2  , q =  −3  , r =  4  .
−3
−9
3
3. 次の写像の表現行列を求めよ．ただし 2 次元平面の基底を {(1, 0), (0, 1)} とする．
「2 次元平面上の点 (x, y) を，原点を中心として反時計回りに π/6 回転させ，
さらに原点からの距離が当初の 2 倍となる位置まで遠ざける．
」
問題 2 (40 点)
ある年，急にジョギングが流行りだした．そこで，ジョギング人口の推移を毎年 1 回調べることにし
たところ，1 年たつと，前の年にジョギングをやっていた人の 3 割がやめ，やっていなかった人の 2 割
がジョギングを始めることが分かった．調査開始時のジョギング，非ジョギング人口をそれぞれ x0 , y0 ，
n 年後を xn , yn とし，全人口は不変であると仮定して以下の問に答えよ．
1. 1 年後のジョギング，非ジョギング人口 x1 , y1 を表す式を
[
]
[
]
x1
x0
=T
y1
y0
と書くとき，2 次正方行列 T を具体的に示せ．
2. 行列 T の固有値と，対応する固有ベクトルを求めよ．
3. n 年後のジョギング，非ジョギング人口 xn , yn を x0 , y0 , n を用いて表せ．
4. 長い年月がたつとジョギング人口が定着することを示し，十分に長い年月経過後の
全人口に占めるジョギング人口の割合を求めよ．
（裏面へ続く）
問題 3 (45 点)
次式で定まる行列 A と半径 1 の球体 B が与えられるとき，以下の問に答えよ．

  ¯


¯


3 −1 0
x


¯
1

 ¯ 2
2
2
A =  −1
3 0 , B =  y  ¯ x + y + z ≤ 1 .
¯


4
 z

¯
0
0 1
1. 行列 A のすべての固有値と対応する固有ベクトルを求めよ．ただし，求めた固有ベクトルの集合
が，3 次元数ベクトル空間の正規直交基底をなすように，ベクトル選択と長さ調整を行うこと．
2. 行列 A によって定まる線形変換により，球体 B が写される先
  ¯  

¯


x
x

¯

 ¯  
AB = A  y  ¯  y  ∈ B

¯



¯
z
z
の図形を数式を用いて表せ．
3. 行列 A によって定まる線形変換を n 回適用して，球体 B が写される先は


 ¯  


x ¯¯
x


¯  
n
n
A B= A  y ¯  y ∈B

¯



¯
z
z
である．n → ∞ のとき，An B が近づく先の図形を xyz 空間中に図示せよ．
図中には座標も記すこと．

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