期末試験模範解答例(pdf

2015 年度制御工学 II 期末試験 (模範解答)
1
2015 年 9 月 28 日
河合康典
2015 年度制御工学 II 期末試験 (模範解答)
2015 年 9 月 28 日 1 限 (9:30-10:50)
注意：途中計算が解答欄に記入されていない場合は減点とする。
[問題 1] (配点 25 点 (各 5 点))*学生の到達目標 (4), (5)
ある開ループ伝達関数 L(s) のボード線図を図 1-1 に
示す。以下の問いに答えよ。
(2) 位相交差周波数 ωpc は，位相が −180◦ のときの周
波数なので ωpc = 2 [rad/s] である。
(3) ゲイン余裕 (GM) は，ωpc におけるゲインである
(1) ゲイン交差周波数 ωgc [rad/s] を求めよ。
ので，GM= 20 [dB] である。
(4) 位相余裕 (PM) は，ωgc における位相であるので，
PM= 60 [◦ ] である。
(2) 位相交差周波数 ωpc [rad/s] を求めよ。
(3) ゲイン余裕 GM [dB] を求めよ。
(5) ボード線図においてゲイン K を増やすとき，ゲイン
(4) 位相余裕 PM [◦ ] を求めよ。
線図は変化するが位相線図は変化しない。2 [rad/s]
(5) KL(s) のゲイン交差周波数 ωgc [rad/s] が 2 [rad/s]
のとき，ゲイン K をおよそいくらにすればよいか
のとき −20 [dB] であるので，20 [dB] 上がればよ
い。よって，
求めよ。
K = 10
(1-2)
このときのボード線図を図 1-2 に重ねて示す。
−1
10
0
10
0
10
Frequency [rad/s]
1
10
1
10
図 1-1: ボード線図
[解答]
図 1-2 のように考える。
(1) ゲイン交差周波数 ωgc は，ゲインが 0 dB のとき
の周波数なので ωgc = 0.4 [rad/s] である。
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
−45
−50
−55
−60 −2
10
−80
−90
−100
−110
−120
−130
−140
−150
−160
−170
−180
−190
−200
−210
−220 −2
10
Magnitude [dB]
−1
10
Phase [deg]
Phase [deg]
(1-1)
を満たす K を求めればよい。
Magnitude [dB]
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
−45
−50
−55
−60 −2
10
−80
−90
−100
−110
−120
−130
−140
−150
−160
−170
−180
−190
−200
−210
−220 −2
10
20 log10 K = 20
GM
−1
0
10
10
10
1
PM
−1
10
10
Frequency [rad/s]
0
図 1-2: ボード線図
10
1
2015 年度制御工学 II 期末試験 (模範解答)
2
[問題 2] (配点 30 点 (各 10 点))*学生の到達目標 (3)
(2) 点 (-1,0) を左に見えるように動く。よって，安定で
開ループ伝達関数のベクトル軌跡から，ナイキスト
ある。
の安定判別法を用いて，制御系がそれぞれ安定であるか
(別解) 図 2-2 より，ナイキスト軌跡は, 点 (−1, 0)
どうかを判別せよ。Π は，開ループ伝達関数の極の中
のまわりを時計方向に 1 回，反時計方向に 1 回ま
で実部が正であるものの個数を表す。
わっているため N = 1 − 1 = 0 である。また，右
半平面に極が存在しないため Π = 0 である。よっ
(1) Π = 0
て，Z = N + Π = 0 + 0 = 0 であるため安定で
Im
ある。
!= !=0
−1
O
Im
Re
−1
!
!= !=0
O
Re
!
(2) Π = 0
Im
図 2-2: ナイキスト軌跡
−1
!= !=0
O
Re
(3) 図 2-3 より，ナイキスト軌跡は, 点 (−1, 0) のまわ
りを反時計方向に 1 回，回っているため N = −1
!
である。また，右半平面に極が存在しており Π = 1
である。よって，Z = N + Π = −1 + 1 = 0 であ
(3) Π = 1
Im
るため安定である。
Im
!=0
−1
!=
Re
O
!=0
−1
!
!=
Re
O
!
[解答]
(1) 点 (-1,0) を左に見えるように動く。よって，安定で
ある。
(別解) 図 2-1 より，ナイキスト軌跡は, 点 (−1, 0)
のまわりを回っていないため N = 0 である。また，
右半平面に極が存在しないため Π = 0 である。よっ
て，Z = N + Π = 0 + 0 = 0 であるため安定で
ある。
Im
!=
−1
O
!=0
Re
!
図 2-1: ナイキスト軌跡
図 2-3: ナイキスト軌跡
2015 年度制御工学 II 期末試験 (模範解答)
3
[問題 3] (配点 20 点 (各 5 点))*学生の到達目標 (4),(6)
r +
次の制御対象 P (s) を考える。
P (s) =
−
K(s)
u
P(s)
y
1
s(s + 2)
図 3-2: フィードバック制御系
P (s) のボード線図は図 3-1 の (X) のようになり，P (s)
に対してゲイン補償，位相遅れ補償，位相進み補償を用
いたボード線図は (A)∼(C) のようになる。このとき，
以下の問に答えよ。
ゲイン補償 K(s) = 10
(1) ゲイン補償は (C) より 3 [rad/s]
(2) 位相進み補償は (A) より
30s + 1
位相遅れ補償 K(s) = 10
300s + 1
4s + 8
位相進み補償 K(s) = 10
s+8
180 − 115 = 65◦
(3-1)
(3) 位相遅れ補償は (B) より
(1) ゲイン補償のゲイン交差周波数 ωgc [rad/s] を求
めよ。
180 − 108 = 72◦
(3-2)
(2) 位相進み補償の位相余裕 PM [◦ ] を求めよ。
(4) 速度偏差定数 Kv は以下のようになる。
(3) 位相遅れ補償の位相余裕 PM [◦ ] を求めよ。
Kv
(4) (フィードバック制御系図 3-2 において) 位相遅れ
補償を用いた場合の速度偏差定数 Kv を求めよ。
Phase [deg]
Magnitude [dB]
60
50
(B)
40
30
20
10 (X)
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60 −2
−1
10
10
−80
−85
−90
−95
−100
−105
(X), (C)
−110
−115
−120
−125
−130
−135
(B)
−140
−145
−150
−155
−160
−165
−170
−175
−180 −2
−1
10
10
(A)
(C)
0
10
2
10
(A)
0
10
Frequency [rad/s]
図 3-1: ボード線図
[解答]
1
10
1
10
2
10
30s + 1
1
× 10
s(s + 2)
300s + 1
10(30s + 1)
= lim
s→0 (s + 2)(300s + 1)
10
=
=5
2
=
lim s
s→0
(3-3)
2015 年度制御工学 II 期末試験 (模範解答)
4
[問題 4] (配点 25 点 (各 5 点))*学生の到達目標 (3), (5)
を満たす ω となるが，ω ≥ 0 より次のようになる。
図 4-1 のフィードバック制御系について，以下の問い
ωpc = 1
に答えよ。
P (s) =
K(s) =
1
s(2s + 1)(3s + 1)
KP (1 + s)
(4-4)
(3) (4-4) 式を (4-2) 式に代入する。
−6 − 4
25 + (1 − 6)2
−10
= KP
25 + 25
−10
= KP
50
1
= − KP
5
1
よって，交点は， − 5 KP , 0
L(jωpc ) =
(1) 開ループ伝達関数 L(s) を求めよ (KP は記号のま
ま用いること)。
(2) ベクトル軌跡が実軸と交わるときの角周波数 ωpc
を求めよ。
(3) ベクトル軌跡が実軸と交わるときの交点 (実軸の値，
虚軸の値) を求めよ。
(4) フィードバック制御系が安定となるゲイン KP の
範囲を求めよ。
KP
(4-5)
(4) 安定であるためには, 実軸との交点が −1 より大き
ければよい，つまり
(5) フィードバック制御系が安定のときのベクトル軌
1
− KP > −1
5
跡の概形を描け。
* 始点と終点のゲインと位相，点 (−1, 0) に対して
(4-6)
であればよい。よって, 安定のための KP の条件は
どこを通過するかを明確にすること。
KP < 5
r +
−
K(s)
u
P(s)
(4-7)
y
となる。
(5) 始点は，
図 4-1: フィードバック制御系
1
を 1 つ含むので
s
|L(0)| = ∞,
L(0) = −90◦
(4-8)
となり，終点は，
[解答]
|L(∞)| = 0
(1) 開ループ伝達関数 L(s) は次のように計算できる。
KP (1 + s)
L(s) = P (s)K(s) =
s(2s + 1)(3s + 1)
(4-1)
L(∞) = (4-9)
KP s
1
= 2 = −180◦
s(2s)(3s)
s
(4-10)
となる。よって，ベクトル軌跡の概形は，図 4-2 の
(2) 開ループ伝達関数は, s = jω を代入する。
L(jω) =
=
=
=
=
ようになる。
KP (1 + jω)
jω(j2ω + 1)(j3ω + 1)
KP (1 + jω)
−5ω 2 + jω(1 − 6ω 2 )
(1 + jω)(−5ω 2 − jω(1 − 6ω 2 ))
KP
25ω 4 + ω 2 (1 − 6ω 2 )2
−5ω 2 − jω(1 − 6ω 2 ) − j5ω 3 + ω 2 (1 − 6ω 2 )
KP
25ω 4 + ω 2 (1 − 6ω 2 )2
−6ω 4 − 4ω 2 + jω(ω 2 − 1)
KP
(4-2)
25ω 4 + ω 2 (1 − 6ω 2 )2
となる。実軸と交わるとき，L(jω) の虚数成分が
0 となることから周波数 ωpc は (4-2) 式の虚数成分
に注目すると,
ω2 − 1 = 0
(4-3)
Im
!=
Re
O
−1
!=0
図 4-2: ベクトル軌跡

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