D-BAUG
Dr. Meike Akveld
Analysis II
FS 2015
Lösung 3
1.
p
a) Zeigen Sie, dass der Graph von f (x, y) = 9 − (x − 2)2 − (y − 3)2 eine Halbkugel beschreibt und bestimmen Sie ihren Radius und ihr Zentrum.
p
z = f (x, y) = 9 − (x − 2)2 − (y − 3)2
z 2 = 9 − (x − 2)2 − (y − 3)2 , z ≥ 0
9 = (x − 2)2 + (y − 3)2 + z 2 , z ≥ 0.
⇔
⇔
Diese Gleichung beschreibt eine Halbkugel mit Radius 3 und Zentrum (2, 3, 0).
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene in P = (3, 1, f (3, 1)).
z0 = f (3, 1) =
√
9 − 1 − 4 = 2.
Die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) ist gegeben durch
fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 .
Wir rechnen
1
−2(x0 − 2)
=−
fx (x0 , y0 ) = p
2
2
2
2 9 − (x0 − 2) − (y0 − 3)
−2(y0 − 3)
fy (x0 , y0 ) = p
=1
2 9 − (x − 2)2 − (y − 3)2
Daraus folgt die Tangentialebenengleichung
− 21 (x − 3) + (y − 1) − (z − 2) = 0,
beziehungsweise
−x + 2y − 2z + 5 = 0.
Bitte wenden!
c) Beschreiben Sie die Niveaufläche F (x, y, z) = 9 für die Funktion F (x, y, z) =
x2 − 4x + y 2 − 6y + z 2 + 13.
x2 − 4x + y 2 − 6y + z 2 + 13 = 9
⇔
(x − 2)2 + (y − 3)2 + z 2 = 9.
Die Niveaufläche F (x, y, z) = 9 beschreibt eine Kugel mit Radius 3 und Zentrum
(2, 3, 0).
d) Sei Q = (3, 1, 2) ein Punkt auf der Niveaufläche aus c). Bestimmen Sie die
Tangentialebene in Q und vergleichen Sie Ihre Antwort mit b). Was stellen Sie
fest?
Der Gradient steht senkrecht zur Niveaufläche. Folglich ist die Tangentialebene
gegeben durch
Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0.
Für Q = (3, 1, 2) folgt
(2x0 − 4)(x − x0 ) + (2y0 − 6)(y − y0 ) + 2z0 (z − z0 ) = 0
⇔
2(x − 3) − 4(y − 1) + 4(z − 2) = 0
⇔
−x + 2y − 2z + 5 = 0.
Die Ebenen in b) und d) sind wie erwartet identisch.
2. Die Temperatur in ◦ C im Punkt (x, y) in der xy-Ebene sei gleich T (x, y) = x sin 2y.
Der Abstand in der xy-Ebene wird in Metern gemessen. Ein Teilchen bewegt sich mit
der konstanten Geschwindigkeit 2 ms im Uhrweigersinn auf dem Kreis vom Radius 1m
um den Ursprung.
Die Bahn des Teilchens wird beschrieben durch
x(t)
cos(−2t)
r(t) =
=
y(t)
sin(−2t)
mit
r(t)
˙ =
2 sin(−2t)
.
−2 cos(−2t)
Wir betrachten den Punkt P = r(t0 ) für t0 =
5π
.
6
Siehe nächstes Blatt!
a) Wie schnell ändert sich die Temperatur am√ Ort des Teilchens in ◦ C pro Meter,
wenn sich das Teilchen am Punkt P = ( 12 , 23 ) befindet?
Die Temperaturänderung pro Meter entspricht der Richtungsableitung in Bewegungsrichtung
√3 r(t
˙ 0)
2
~v =
=
.
|r(t
˙ 0 )|
− 12
Für den Gradienten gilt
sin(2y)
∇T (x, y) =
.
2x cos(2y)
Also
√ √3 sin(
3)
√
· 21
D~v T ( 12 , 23 ) = ∇T ( 12 , 23 ) · ~v =
cos( 3)
−2
√
√
√
1
3
◦
sin( 3) − cos( 3) ≈ 0.935 mC .
=
2
2
√
√
b) Wie schnell ändert sich die Temperatur am √Ort des Teilchens in ◦ C pro Sekunde,
wenn sich das Teilchen am Punkt P = ( 12 , 23 ) befindet?
Um die Temperaturänderung pro Sekunde zu berechnen, leiten wir T (r(t)) mit
Hilfe der Kettenregel nach der Zeit ab.
d T (r(t)) = Tx (P ) · x(t
˙ 0 ) + Ty (P ) · y(t
˙ 0)
dt t=t0
√
√
√
◦
= 3 sin( 3) − cos( 3) ≈ 1.87 sC .
3. Das folgende Bild zeigt einige Niveaulinien der Funktion
f (x, y) = 2x2 − x4 − 2y 2 + y 4
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
Bitte wenden!
a) Lokalisieren Sie anhand des Bildes kritische Punkte (ohne Rechnung). Entscheiden Sie jeweils, ob es sich um einen Sattelpunkt bzw. um ein Minimum/Maximum
handelt. Begründen Sie Ihre Antwort!
Die Punkte (1, 0), (0, 1), (−1, 0) und (0, −1) sind jeweils von konzentrischen
(ovalen) Höhenlinien umgeben. Unter der Annahme, dass die zu den Höhenlinien gehörigen Funktionswerte zum Zentrum hin zu- bzw. abnehmen, würde man
dort ein Maximum bzw. Minimum erwarten.
In den Punkten (0, 0), (1, 1), (1, −1), (−1, −1) und (−1, 1) kreuzen sich jeweils
zwei Höhenlinien. Da die Richtungsableitung entlang einer Höhenlinie stets Null
ist, muss das folgende Gleichungssystem im Schnittpunkt gelten:
fx u1 + fy u2 = 0,
fx v1 + fy v2 = 0,
für die linear unabhängigen Vektoren u = uu12 und v = vv12 in Richtung der
Höhenlinien. Man lässt sich leicht davon überzeugen, dass dieses nur die Lösung
fx = fy = 0 besitzt und damit in den Kreuzungspunkten ∇f = 0 gelten muss,
d.h. alle Kreuzungspunkte sind mit Sicherheit kritische Punkte! Intuitiv würde
man erwarten, dass es sich bei ihnen um Sattelpunkte handelt. Mit Gewissheit
sagen können wir das jedoch nicht!
Beispiel: Die Funktion g(x, y) = (x−y)2 (x+y)2 weist zwei sich im Punkt (0, 0)
schneidende Höhenlinien auf, nämlich y = x und y = −x. Der Punkt (0, 0) ist
aber kein Sattelpunkt, sondern vielmehr ein Minimum, denn es gilt offensichtlich
g(0, 0) = 0 und g(x, y) ≥ 0 für alle (x, y) ∈ 2 .
R
b) Untersuchen Sie sämtliche kritischen Punkte rechnerisch. Entscheiden Sie jeweils anhand der zweiten Ableitungen von f , ob es sich um ein Minimum, ein
Maximum oder einen Sattelpunkt handelt.
Der Gradient lautet
4x − 4x3
4x(1 − x2 )
4x(1 − x)(1 + x)
∇f (x, y) =
=
=
.
−4y + 4y 3
−4y(1 − y 2 )
−4y(1 − y)(1 + y)
Wir haben also ∇f = 0 genau dann, wenn x, y ∈ {−1, 0, 1}.
Die kritischen Punkte sind also
P1 = (−1, −1), P2 = (−1, 0), P3 = (−1, 1),
P4 = (0, −1),
P5 = (0, 0),
P6 = (0, 1),
P7 = (1, −1),
P8 = (1, 0),
P9 = (1, 1),
wie wir dies schon in Teil a) gesehen haben.
Die zweiten Ableitungen sind
fxx (x, y) = 4 − 12x2
fxy (x, y) = 0
fyy (x, y) = −4 + 12y 2
Siehe nächstes Blatt!
Wir benutzen nun das Kriterium für kritische Punkte aus der Vorlesung:
2
D = fxy
− fxx · fyy = 16 − 48(x2 + y 2 ) + 144x2 y 2 .
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
:D
:D
:D
:D
:D
:D
:D
:D
:D
= 64 > 0
= −32 < 0,
= 64 > 0
= −32 < 0,
= 16 > 0
= −32 < 0,
= 64 > 0
= −32 < 0,
= 64 > 0
⇒
fxx (−1, 0) = −8 < 0 ⇒
⇒
fxx (0, −1) = 4 > 0
⇒
⇒
fxx (0, 1) = 4 > 0
⇒
⇒
fxx (1, 0) = −8 < 0
⇒
⇒
Sattelpunkt
Maximum
Sattelpunkt
Minimum
Sattelpunkt
Minimum
Sattelpunkt
Maximum
Sattelpunkt
c) Untersuchen Sie die Funktion
g(x, y) = e4y−x
2 −y 2
auf Minima, Maxima und Sattelpunkte.
Erste Ableitungen:
2
2
gx (x, y) = −2xe4y−x −y
2
2
gy (x, y) = (4 − 2y)e4y−x −y
Der einzige kritische Punkt ist bei (0, 2). (Dort ist ∇g = 0.)
Zweite Ableitungen:
2
2
2
2
gxx (x, y) = −2e4y−x −y + 4x2 e4y−x −y
⇒ gxx (0, 2) = −2e4
2
2
gxy (x, y) = −2x(4 − 2y)e4y−x −y
⇒ gxy (0, 2) = 0
2
2
4y−x −y
2 4y−x2 −y 2
gyy (x, y) = −2e
+ (4 − 2y) e
⇒ gyy (0, 2) = −2e4
Es folgt
2
D = gxy
(0, 2) − gxx (0, 2)gyy (0, 2) = −4e8 .
Also haben wir D < 0, gxx (0, 2) < 0 ⇒ Maximum.
4. Zwei Berge ohne Sattel. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion zwei lokale Maximas
besitzen, jedoch keine weiteren kritische Punkte.
f (x, y) = −(x2 − 1)2 − (x2 − ey )2 .
Skizzieren Sie den Graphen.
Bitte wenden!
Wir bestimmen zuerst alle kritischen Punkte.
−2(x2 − 1) · 2x − 2(x2 − ey ) · 2x
∇f (x, y) =
=0
2(x2 − ey ) · ey
Aus der zweiten Gleichung folgt x2 = ey , da ey > 0, und somit auch x 6= 0. Eingesetzt
in der ersten Gleichung erhalten wir zusätzlich x2 = 1. Die kritischen Punkte sind also
(x, y) = (±1, 0).
Um zu zeigen, dass diese beiden Punkte lokale Maxima sind, betrachten wir die Hessematrix
fxx fxy
−24x2 + 4 + 4ey
4xey
Hf (x, y) =
=
.
fxy fyy
4xey
2(x2 − 2ey )ey
Das heisst
Hf (1, 0) =
−16 4
,
4 −2
−16 −4
Hf (−1, 0) =
.
−4 −2
2
In beiden Fällen gilt D = −fxx fyy + fxy
= −16 < 0 und fxx = −16 < 0. Also
handelt es sich in jeweils um ein Maximum.
Die folgende Skizze zeigt den Graphen der Funktion.
5. Wir betrachten die Funktion
f (x, y) = 4 + x4 + 3y 4 .
a) Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von f .
4x3
12y 3
∇f (x, y) =
= 0 ⇔ (x, y) = (0, 0).
Siehe nächstes Blatt!
b) Berechnen Sie die Hessematrix in diesen Punkten. Können Sie damit die Art der
kritischen Punkte folgern?
12x2
0
0 0
Hf (x, y) =
⇒ Hf (0, 0) =
.
0
36y 2
0 0
Folglich können wir daraus keine Schlüsse bezüglich der Art der Nullstelle ziehen.
c) Charakterisieren Sie die kritischen Punkte.
In diesem Fall können wir jedoch auf einfache Art und Weise zeigen, dass die
Funktion f im Punkt (0, 0) ein (globales) Minimum hat. Es gilt
f (x, y) = 4 + x4 + 3y 4 ≥ 4 = f (0, 0),
da x4 ≥ 0 und y 4 ≥ 0.
6. Bestimmen Sie drei Zahlen mit der Summe 9, für welche die Summe der Quadrate
minimal ist. Interpretieren Sie dieses Resultat geometrisch.
Durch die Nebenbedingung erhalten wir z = 9 − x − y. Gesucht ist also ein Minimum
der Funktion
f (x, y) = x2 + y 2 + (9 − x − y)2 .
Dazu berechnen wir den Gradienten
4x + 2y − 18
∇f (x, y) =
.
2x + 4y − 18
Wir haben also ∇f = 0 falls (x, y) = (3, 3). Für die Hessematrix gilt
4 2
Hf =
.
2 4
2
Folglich ist D = fxy
− fxx fyy = −12 < 0 und fxx = 4 > 0. Wir haben daher ein
Minimum in (x, y) = (3, 3).
Das gesuchte Zahlentrippel ist also (3, 3, 3). Dies entspricht dem Punkt in der Ebene
x + y + z = 9 mit minimalem euklidischem Abstand zum Ursprung (g(x, y, z) =
k(x, y, z)k2 ).
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