Hochschule f¨ ur angewandte Wissenschaften Augsburg Fakult¨ at Allgemeinwissenschaften Physik fu ¨ r Maschinenbau WS 14/15 ¨ Ubungsblatt D.1 05.11.2014 Prof. Dr. Holger Schmidt Dr. Christine Zerbe, Dr. Hadwig Sternschulte 1. Aufgabe Die Periodendauer einer harmonisch schwingenden Masse betr¨agt T = 8 s. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Masse in Ruhe bei x = 10 cm, d.h. es gilt x(0) ˙ = 0 und x(0) = 10 cm. (a) Bestimmen Sie x(t). (b) Skizzieren Sie x(t). (c) Bestimmen Sie den Weg, der in der ersten Sekunde zur¨ uckgelegt wird. (d) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit an der Stelle x = 0. 2. Aufgabe Betrachten Sie die Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung mit D¨ampfung aus der Vorlesung m¨ x(t) + γ x(t) ˙ + Dx(t) = F sin(Ωt + ϕ) = F1 sin(Ωt) + F2 cos(Ωt) . mit √ F = F12 + F22 und tan ϕ = (1) F2 F1 (2) (a) Zeigen Sie, dass die L¨osung der Bewegungsgleichung gegeben ist durch (ω02 = x(t) = A(Ω) sin(Ωt), A(Ω) = √ F m (ω02 − Ω2 )2 + ( γ )2 m , Ω2 tan ϕ = D ) m γ Ω m ω02 − Ω2 In Worten: (a) Die Masse schwingt mit der Frequenz Ω der ¨ausseren Kraft, (b) die Amplitude der Schwingung h¨angt von der Frequenz Ω der ¨ausseren Kraft ab, (c) die ¨aussere Kraft und die schwingende Masse sind um den Winkel ϕ (der ebenfalls von der Frequenz Ω abh¨angt) phasenverschoben. Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz x(t) = A sin(Ωt) und gehen Sie damit in die Bewegungsgleichung ein. Sortieren Sie nach sinus und cosinus Termen, vergleichen Sie dies mit der (ganz) rechten Seite von Gleichung (1) und verwenden Sie dann Gleichung (2), um das gew¨ unschte Ergebnis zu erhalten. (b) Betrachten Sie die Amplitudenfunktion A(Ω) = √ F m (ω02 − Ω2 )2 + ( γ )2 m Ω2 Zeigen Sie, dass diese Funktion ihr Maximum an der Stelle √ 1 ( γ )2 Ω = ω02 − 2 m besitzt und skizzieren Sie die Amplitudenfunktion f¨ ur einige Werte der D¨ampfungskonstante γ. (c) Betrachten Sie die Phasenverschiebung zwischen der ¨ausseren Kraft und der schwingenden Masse γ Ω m tan ϕ = 2 . ω0 − Ω 2 Skizzieren Sie diese Phasenverschiebung f¨ ur einige Werte der D¨ampfungskonstante γ. 3. Aufgabe Betrachten Sie die Bewegungsgleichung einer Schwingung mit D¨ampfung aus der Vorlesung m¨ x(t) + γ x(t) ˙ + Dx(t) = 0 . Zeigen Sie durch explizites Einsetzen, dass die L¨osung dieser Gleichung gegeben ist durch √ D γ γ2 x(t) = Ae−λt sin(ωt) mit λ = und ω = − 2m m 4m2 4. Aufgabe Betrachten Sie wieder die L¨osung der ged¨ampften Schwingung √ √ 2 γ D γ γ2 2 x(t) = Ae−λt sin(ωt) mit λ = und ω = − = ω − 0 2m m 4m2 4m2 (a) Zeigen Sie, dass das Amplitudenverh¨altnis zweier aufeinanderfolgenden Schwingungen konstant ist, d.h. dass gilt γ x(t) = e 2m T . x(t + T ) (b) Zeigen Sie, dass f¨ ur die n-te Amplitude gilt ( γ )n x(t) = e 2m T . x(t + nT ) Die Amplitude einer ged¨ampften Schwingung betr¨agt zu Beginn x0 = 10cm. Sie ist nach 20 Schwingungen noch halb so groß. Die Periodendauer betr¨agt T = 2s. Bestimmen Sie die Periodendauer des unged¨ampften Systems. 5. Aufgabe Finden Sie die L¨ange eines mathematischen Pendels, wenn dessen Periodendauer T = 5 s betr¨agt. Rechnen Sie mit g = 9.81 sm2 . 6. Aufgabe Betrachten Sie ein physikalisches Pendel, dass aus einer massiven Kugel mit Radius R und Masse m besteht, die an einem masselosen Faden aufgeh¨angt ist. Die Asbtand vom Mittelpunkt der Kugel zum Aufh¨angepunkt betr¨agt l. Das Tr¨agheitsmoment der Kugel ist gegeben durch Θ = 25 mR2 . (a) Zeigen Sie, dass die Periodendauer gegeben ist durch √ T = T0 1+ √ R2 5l2 mit T0 = 2π l . g (b) Zeigen Sie, dass sich f¨ ur R → 0 die Periodendauer eines mathematischen Pendels ergibt.