小テスト第 4 回解答 2015/11/04 (1) ∫ π tan x dx u = cos x とおくと

小テスト第 4 回解答
2015/11/04
∫ π2
(1)
tan x dx
−π
2
∫
∫
1
u = cos x とおくと、 tan x dx = − du = − log|log x| となる。
u
また、tan x は点 x = ± π
2 で定義されていないから、広義積分の定
義より
∫ π2
∫ π2 −δ
∫0
(†)
tan x dx + lim
tan x dx
tan x dx = lim
δ→+0 0
ϵ→+0 − π +ϵ
2
−π
2
y
δ→+0
であるが、2 つの広義積分
=
A
∫0
lim
ϵ→+0 − π +ϵ
2
tan x dx,
=
B
∫ π2 −δ
lim
δ→+0 0
π
2
B
− π2
tan x dx
∫ π2
がそれぞれ (独立に) 収束するとき、広義積分
− π2 + ϵ
π
2
O
A
−δ
y = tan x
ϵ→+0
tan x dx は収束
−π
2
するといい、(†) により積分の値を決めることに注意。そうでなけ
∫ π2
れば、広義積分
tan x dx は発散するという。上の 2 つの広義積
−π
2
分 A 、 B が収束するとき、式 (†) が意味を持つと思ったほうがいい。
∫0
今、 lim
ϵ→+0 − π +ϵ
2
∫ π2
[
]0
tan x dx = lim − log|cos x| π
ϵ→+0
− 2 +ϵ
= −∞ となるから、広義積分
tan x dx
−π
2
は発散する。
よくある間違いですが、
(∫
∫ π2
0
tan x dx = lim
ϵ→+0
−π
2
= lim
ϵ→+0
)
∫ π2 −ϵ
tan x dx +
−π
2 +ϵ
([
]0
− log|cos x| π
− 2 +ϵ
tan x dx
0
[
] π2 −ϵ )
+ − log|cos x|
=0
0
としてはいけない。上でも述べた通り、2 つの広義積分がそれぞれ独立に収束することを見ないと
いけない。一般に、上のように ϵ で同時に ± π
2 に近づける理由はない。他には、
(
)
∫π
∫
∫π
2
−π
2
0
tan x dx ̸= lim
ϵ→+0
2
tan x dx +
−π
2 +ϵ
−2ϵ
tan x dx
= − log 2
0
となる。確かめてみよう。
∫∞
log x
(2)
dx
x2
e
部分積分法より、
)′
)
∫(
∫(
∫
1
1
1
1
log x 1
log x
dx =
−
log x dx = − log x −
−
· dx = −
−
x2
x
x
x
x
x
x
∫∞
e
y=
e
[
]N
[
]N
log x
log x
1
dx
=
lim
−
+
lim
−
N→∞
N→∞
x2
x e
x e
e
(
)
(
)
log N 1
1
1
2
= lim −
+
+ lim − +
=
N→∞
N→∞
N
e
N e
e
log x
dx = lim
N→∞
x2
∫N
log x
x2
N
xN→∞
x
log N
の部分は l’Hôpital の定理
N→∞ N
ここで、 lim
を使う:
l’Hôpital の定理
f, g : 微分可能な関数
lim f(x) = lim g(x) = 0 または lim f(x) = lim g(x) = ∞ で、
x→a
x→a
f ′ (x)
lim ′
が存在するとき、
x→a g (x)
1
log N
1
= lim N = lim
=0
N→∞ N
N→∞ 1
N→∞ N
lim
lim
x→a
x→a
x→a
f(x)
f ′ (x)
= lim
g(x) x→a g ′ (x)
が成り立つ。
∫
(3) (1)
1
√
dx
2
x +x−2
√
x2 + x − 2 = t − x とおくと、
x2 + x − 2 = t2 − 2tx + x2
√
x2 + x − 2 = t − x
t2 + 2
2t + 1
2(t2 + t − 2)
dx =
dt
(2t + 1)2
x=
=
t2 + t − 2
2t + 1
したがって、
∫
∫
2(t2 + t − 2)
1
2t + 1
√
·
dx =
dt
t2 + t − 2
(2t + 1)2
x2 + x − 2
∫
√
1
1
=2
dt = 2 log|2t + 1| × = log2x + 1 + 2 x2 + x − 2 2t + 1
2
1
は x = −2, 1 で定義されていないから、
(2) √
2
x +x−2
∫2
1
√
1
dx = lim
ϵ→+0
x2 + x − 2
∫2
1
√
dx
x2 + x − 2
[ ]2
√
2
= lim log2x + 1 + 2 x + x − 2 t→1+0
t
(
)
√
2
= lim log 9 − log2t + 1 + 2 t + t − 2 1
y= √
x2 + x − 2
1+ϵ
ϵ→+0
t→1+0
= log 3
1+ϵ
2
x

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